📝 厦门大学 2024年高等代数真题

1．$\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 5 & 4 & 3 & 2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

2．$A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \eta\right)$ ，
$2 \alpha_{1}+\alpha_{2}=0, m \alpha_{1}+n \alpha_{2}+k \alpha_{3}=0$ $\_\_\_\_$
$m, n, k$ ？），则 $\operatorname{rank} A^{\star}=$ $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

3．$V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个 $n-1$ 维子空间，$V_{1} \neq V_{2}$ ，
$\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。

4．$A$ 是 4 阶幂零矩阵，$A^{2}$ 的不变因子是
$\_\_\_\_$ ．

5．设 $A=$ $\_\_\_\_$ ，则它的特征值 2 的几何重数为 $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

6．矩阵 $A=$ ？的正惯性指数为 $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

2．设 $A$ 是反对称矩阵（ $A^{\mathrm{T}}=-A$ ），求证：对任一 $n$ 维列向量 $x, x^{\mathrm{T}} A x=0$ ．

1．证明：$V=\operatorname{ker} \varphi \oplus \operatorname{im} \varphi$ ；2．？［张祖锦注：只有第1问的题目，所以只证了第1问．］

1．求 $E-A$ 的逆；

2．证明 $(E-A)^{-1}$ 和 $E-A$ 相似．

七．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 幂零，即存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ．

三．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，证明：若 $\displaystyle a c+b c$ 为奇数，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

二．设
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
，$\displaystyle A B+A-B=E$ ，求 $B$ ．

五．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，满足
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$$
\varphi^{3}-2 \varphi^{2}+\varphi=\mathscr{O} .
$$

八．用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 到 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的映射 $f$

$$
f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\mid
$$

其中 $\displaystyle r \geq s \geq 0$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个 $\displaystyle n-r$ 维子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ．
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的两个 $\displaystyle n-r$ 维子空间，

$$
f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2},
$$

则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$ ．

六．设 $A$ 是可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$和正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle A=Q S$ 。

四．1．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，秩为 $r$ ，试证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为
$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$
，其中 $\displaystyle \operatorname{rank} B=r$ ．［张祖锦注：题目回忆有误，反例见参考解答！我们给出并证明了正确表述方式！］