厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．$V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个 $n-1$ 维子空间，$V_{1} \neq V_{2}$ ，
$\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：列出已知条件
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_1, V_2$ 是 $V$ 的两个 $n-1$ 维子空间，且 $V_1 \neq V_2$。
提示：注意 $V_1 \neq V_2$ 意味着它们不是同一个子空间。
步骤 2/7
目标：应用维数公式
由维数公式：
\[
\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2).
\]
代入 $\dim V_1 = \dim V_2 = n-1$ 得：
\[
\dim(V_1 + V_2) = (n-1) + (n-1) - \dim(V_1 \cap V_2) = 2n-2 - \dim(V_1 \cap V_2).
\]
公式：维数公式：$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$
提示：维数公式适用于任意两个子空间，注意不要忘记减去交的维数。
步骤 3/7
目标：分析交的维数下界
由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $n-1$ 维，且 $V_1 \neq V_2$，它们的和 $V_1+V_2$ 是 $V$ 的子空间，故 $\dim(V_1+V_2) \leq n$。由维数公式得：
\[
\dim(V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1+V_2) \geq (n-1)+(n-1)-n = n-2.
\]
因此 $\dim(V_1 \cap V_2) \geq n-2$。
提示：利用和不超过 $n$ 维得到交的下界。
步骤 4/7
目标：分析交的维数上界
由于 $V_1 \neq V_2$，所以 $V_1 \cap V_2$ 是 $V_1$ 的真子空间（因为 $V_1$ 中至少有一个向量不在 $V_2$ 中），因此 $\dim(V_1 \cap V_2) < \dim V_1 = n-1$，即 $\dim(V_1 \cap V_2) \leq n-2$。
提示：真子空间的维数严格小于原空间。
步骤 5/7
目标：确定交的维数
综合上下界：$n-2 \leq \dim(V_1 \cap V_2) \leq n-2$，故 $\dim(V_1 \cap V_2) = n-2$。
提示：夹逼得到唯一可能值。
步骤 6/7
目标：计算和的维数
代入维数公式：
\[
\dim(V_1+V_2) = 2n-2 - (n-2) = n.
\]
提示：注意计算时符号。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $\dim(V_1+V_2) = n$。
提示：最终结果是一个整数。
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