厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，证明：若 $\displaystyle a c+b c$ 为奇数，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析条件并转化为奇偶性
已知 $ac+bc$ 为奇数，即 $c(a+b)$ 为奇数。由于奇数乘以奇数才得奇数，因此 $c$ 与 $a+b$ 均为奇数。
提示：注意：奇数乘以奇数得奇数，奇数乘以偶数得偶数。
步骤 2/8
目标：假设可约并推出存在有理根
假设 $f(x)$ 在有理数域上可约。由于 $f(x)$ 是三次多项式，若可约则必有一次因式，从而存在有理根。
提示：三次多项式可约必有一次因式，因为若分解为二次乘一次，则有一次因式；若分解为三个一次，也有一次因式。
步骤 3/8
目标：应用有理根定理确定可能的有理根
由有理根定理，整系数多项式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 的有理根只能是 $\pm 1$ 或 $\pm d$，其中 $d$ 是 $c$ 的正因子。由于 $c$ 为奇数，$d$ 也是奇数。
提示：有理根定理：若 $p/q$ 是整系数多项式的有理根，则 $p$ 整除常数项，$q$ 整除首项系数。这里首项系数为1，故有理根为整数且整除常数项。
步骤 4/8
目标：检验 $x=1$ 是否为根
计算 $f(1)=1+a+b+c$。由于 $a+b$ 为奇数，$c$ 为奇数，则 $1+$奇数$+$奇数$=1+$偶数$=$奇数，故 $f(1)\neq 0$。
提示：注意：奇数加奇数得偶数，偶数加1得奇数。
步骤 5/8
目标：检验 $x=-1$ 是否为根
计算 $f(-1)=-1+a-b+c = (a+b) - (1+c)$。由于 $a+b$ 为奇数，$1+c$ 为偶数（因为 $c$ 奇数），奇数减偶数得奇数，故 $f(-1)\neq 0$。
提示：注意：$1+c$ 中 $c$ 奇数，故 $1+c$ 为偶数。
步骤 6/8
目标：检验 $x=d$（$d$ 为正奇数因子且 $d>1$）是否为根
计算 $f(d)=d^3+ad^2+bd+c$。模2：由于 $d$ 为奇数，$d\equiv 1\pmod{2}$，则 $d^3\equiv 1$，$ad^2\equiv a$，$bd\equiv b$，$c\equiv 1$，所以 $f(d)\equiv 1+a+b+1\equiv a+b\pmod{2}$。因为 $a+b$ 为奇数，所以 $f(d)\equiv 1\pmod{2}$，故 $f(d)\neq 0$。
提示：模2运算中，奇数模2为1，偶数模2为0。注意 $d$ 为奇数时 $d\equiv 1$。
步骤 7/8
目标：检验 $x=-d$（$d$ 为正奇数因子且 $d>1$）是否为根
计算 $f(-d)=-d^3+ad^2-bd+c$。模2：$-d^3\equiv -1\equiv 1$（因为 $-1\equiv 1\pmod{2}$），$ad^2\equiv a$，$-bd\equiv -b\equiv b$（因为 $-1\equiv 1$），$c\equiv 1$，所以 $f(-d)\equiv 1+a+b+1\equiv a+b\equiv 1\pmod{2}$，故 $f(-d)\neq 0$。
提示：注意模2下 $-1\equiv 1$，所以 $-d^3\equiv d^3\equiv 1$，$-bd\equiv bd\equiv b$。
步骤 8/8
目标：得出结论
由于所有可能的有理根 $\pm 1$ 和 $\pm d$ 均不是 $f(x)$ 的根，故 $f(x)$ 无有理根，从而在有理数域上不可约。
提示：注意：有理根定理只给出可能的有理根，需要逐一检验。
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