厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 幂零，即存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解幂零矩阵的定义
题目给出 $n$ 阶矩阵 $A$ 是幂零的，即存在正整数 $k$ 使得 $A^k = 0$。这意味着矩阵 $A$ 的 $k$ 次幂是零矩阵。
公式：$A^k = 0$
提示：注意 $k$ 不一定是最小的正整数，但存在性即可。
步骤 2/8
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，满足 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$。
公式：$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
提示：特征向量必须非零。
步骤 3/8
目标：应用幂零条件
对等式 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 两边左乘 $A$ 共 $k-1$ 次，得到 $A^k \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$。因为 $A^k = 0$，所以 $\lambda^k \mathbf{v} = \mathbf{0}$。
公式：$A^k \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$
提示：注意矩阵乘法与标量乘法的顺序。
步骤 4/8
目标：推导特征值为零
由于 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，由 $\lambda^k \mathbf{v} = \mathbf{0}$ 可得 $\lambda^k = 0$，从而 $\lambda = 0$。因此 $A$ 的所有特征值全为0。
公式：$\lambda^k = 0 \Rightarrow \lambda = 0$
提示：复数域中 $\lambda^k=0$ 推出 $\lambda=0$。
步骤 5/8
目标：得到特征多项式
因为 $A$ 的所有特征值都是0，所以 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^n$。
公式：$f(\lambda) = \lambda^n$
提示：特征多项式是 $\det(\lambda I - A)$，由于特征值全0，故为 $\lambda^n$。
步骤 6/8
目标：计算迹和行列式
矩阵的迹等于特征值之和，由于所有特征值为0，所以 $\operatorname{tr}(A)=0$。行列式等于特征值之积，所以 $\det(A)=0$。
公式：$\operatorname{tr}(A)=0$, $\det(A)=0$
提示：迹和行列式是特征值的对称函数。
步骤 7/8
目标：讨论若尔当标准形
由于特征值全为0，$A$ 的若尔当标准形中每个若尔当块都是关于特征值0的幂零块。最大若尔当块的阶数不超过 $k$（因为 $A^k=0$ 限制了幂零指数）。
公式：无
提示：若尔当块的阶数等于对应特征向量的循环长度。
步骤 8/8
目标：总结结论
幂零矩阵的特征值全为0，且其若尔当标准形由特征值0的若尔当块组成。
公式：无
提示：该结论是幂零矩阵的基本性质。
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