厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．求 $E-A$ 的逆；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件
题目要求计算 $(E-A)^{-1}$，但未给出矩阵 $A$ 的具体形式。因此，无法直接计算逆矩阵。需要根据 $A$ 的性质选择合适的方法。
提示：注意：逆矩阵的存在性要求 $E-A$ 可逆，即 $1$ 不是 $A$ 的特征值。
步骤 2/6
目标：考虑幂零矩阵情形
若 $A$ 是幂零矩阵，即存在正整数 $k$ 使得 $A^k=0$，则 $(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$。这是因为 $(E-A)(E+A+\cdots+A^{k-1})=E-A^k=E$。
公式：$(E-A)^{-1}=\sum_{i=0}^{k-1}A^i$
提示：验证幂零性：检查是否存在 $k$ 使得 $A^k=0$。
步骤 3/6
目标：考虑一般情形
若 $A$ 不是幂零矩阵，但已知 $A$ 的具体元素，可通过求解线性方程组或利用初等变换求逆。例如，设 $X=(E-A)^{-1}$，则 $(E-A)X=E$，解此矩阵方程。
公式：$(E-A)X=E$
提示：注意矩阵乘法顺序，$(E-A)X=E$ 中 $X$ 是右乘。
步骤 4/6
目标：利用特征值判断可逆性
计算 $A$ 的特征值。若 $1$ 不是 $A$ 的特征值，则 $E-A$ 可逆。否则不可逆。
公式：$\det(E-A)\neq 0$
提示：特征值满足 $\det(A-\lambda E)=0$，$\lambda=1$ 时对应 $\det(E-A)=0$。
步骤 5/6
目标：特殊矩阵的逆
若 $A$ 是某些特殊矩阵（如对角矩阵、正交矩阵等），可利用其性质简化计算。例如，若 $A$ 是对角矩阵 $\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)$，则 $E-A=\operatorname{diag}(1-a_1,\dots,1-a_n)$，其逆为 $\operatorname{diag}((1-a_1)^{-1},\dots,(1-a_n)^{-1})$。
公式：$(E-A)^{-1}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{1-a_1},\dots,\frac{1}{1-a_n}\right)$
提示：要求 $a_i\neq 1$。
步骤 6/6
目标：总结
由于题目未提供 $A$ 的具体信息，无法给出唯一答案。请补充 $A$ 的具体元素或性质（如幂零、对角、正交等）。
提示：常见错误：直接假设 $A$ 幂零或忽略可逆性条件。
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