厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 是反对称矩阵（ $A^{\mathrm{T}}=-A$ ），求证：对任一 $n$ 维列向量 $x, x^{\mathrm{T}} A x=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵，即 $A^{\mathrm{T}} = -A$。对于任意 $n$ 维列向量 $x$，要证明 $x^{\mathrm{T}} A x = 0$。
公式：A^{\mathrm{T}} = -A
提示：注意反对称矩阵的定义：转置等于负的自身。
步骤 2/6
目标：考虑二次型 $x^{\mathrm{T}} A x$ 的转置
由于 $x^{\mathrm{T}} A x$ 是一个标量（1×1矩阵），其转置等于自身，即 $x^{\mathrm{T}} A x = (x^{\mathrm{T}} A x)^{\mathrm{T}}$。
公式：(x^{\mathrm{T}} A x)^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}} A x
提示：标量的转置就是它本身。
步骤 3/6
目标：计算转置表达式
利用矩阵转置的性质：$(x^{\mathrm{T}} A x)^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} (x^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} x$。注意 $(x^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = x$。
公式：(ABC)^{\mathrm{T}} = C^{\mathrm{T}} B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}
提示：转置时注意顺序反转：$(x^{\mathrm{T}} A x)^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} x$。
步骤 4/6
目标：代入反对称条件
由 $A^{\mathrm{T}} = -A$，得 $x^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} x = x^{\mathrm{T}} (-A) x = -x^{\mathrm{T}} A x$。
公式：A^{\mathrm{T}} = -A
提示：注意负号的处理。
步骤 5/6
目标：建立等式并求解
由步骤1和步骤3，有 $x^{\mathrm{T}} A x = -x^{\mathrm{T}} A x$。移项得 $2 x^{\mathrm{T}} A x = 0$，因此 $x^{\mathrm{T}} A x = 0$。
公式：x^{\mathrm{T}} A x = -x^{\mathrm{T}} A x \Rightarrow 2x^{\mathrm{T}} A x = 0
提示：移项时注意符号，不要遗漏系数2。
步骤 6/6
目标：结论
所以对任意 $n$ 维列向量 $x$，有 $x^{\mathrm{T}} A x = 0$。
提示：结论成立。
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