厦门大学 2024年高等代数第0题

八．用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 到 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的映射 $f$  $$ f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\mid $$ 其中 $\displaystyle r \geq s \geq 0$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个 $\displaystyle n-r$ 维子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ． （2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的两个 $\displaystyle n-r$ 维子空间，  $$ f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}, $$ 则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$ ．