厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二．设
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
，$\displaystyle A B+A-B=E$ ，求 $B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简矩阵方程
由 $AB + A - B = E$ 移项得 $AB - B = E - A$，即 $(A - E)B = E - A$。
公式：$(A - E)B = E - A$
提示：注意移项时符号变化，$A - B$ 不能直接合并为 $A - B$，需提取公因子 $B$。
步骤 2/7
目标：计算 $A - E$ 和 $E - A$
计算 $A - E$：
$$A - E = \begin{pmatrix} -1-1 & 0 & -1 \\ 0 & 2-1 & 0 \\ -1 & 0 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
计算 $E - A$：
$$E - A = \begin{pmatrix} 1+1 & 0 & 1 \\ 0 & 1-2 & 0 \\ 1 & 0 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意单位矩阵 $E$ 是对角线为1，其余为0的矩阵。
步骤 3/7
目标：发现 $E - A = -(A - E)$
验证：$-(A - E) = -\begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = E - A$。因此方程化为 $(A - E)B = -(A - E)$。
公式：$E - A = -(A - E)$
提示：注意负号的应用，不要遗漏。
步骤 4/7
目标：判断 $A - E$ 的可逆性
计算行列式：
$$\det(A - E) = \begin{vmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - 0 + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (-2)\cdot 0 + (-1)\cdot(0\cdot0 - 1\cdot(-1)) = (-1)\cdot 1 = -1 \neq 0.$$
所以 $A - E$ 可逆。
公式：行列式展开公式
提示：计算行列式时注意符号和子式，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：求解矩阵 $B$
由于 $A - E$ 可逆，在方程 $(A - E)B = -(A - E)$ 两边左乘 $(A - E)^{-1}$ 得 $B = -E$。
公式：若 $A$ 可逆，则 $AX = A \Rightarrow X = I$
提示：左乘逆矩阵时注意顺序，矩阵乘法不交换。
步骤 6/7
目标：验证结果
代入 $B = -E$ 验证：
$$AB + A - B = A(-E) + A - (-E) = -A + A + E = E.$$
成立。
提示：验证是确保解正确的重要步骤。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此 $B = -E = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：最终答案应写成矩阵形式。
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