厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六．设 $A$ 是可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$和正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle A=Q S$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造正定矩阵 A^T A
由于 $A$ 可逆，对任意非零向量 $x$，有 $x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2 > 0$，因此 $A^T A$ 是正定矩阵。
公式：x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2 > 0
提示：注意 $A$ 可逆保证 $Ax \neq 0$，从而内积为正。
步骤 2/5
目标：正交对角化 A^T A
$A^T A$ 是实对称正定矩阵，故存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^T (A^T A) P = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$ 是 $A^T A$ 的特征值。
公式：P^T (A^T A) P = \Lambda
提示：实对称矩阵可正交对角化，且正定性保证特征值全为正。
步骤 3/5
目标：定义正定矩阵 S
令 $\Sigma = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $\Sigma$ 正定。定义 $S = P \Sigma P^T$，则 $S$ 是正定矩阵，且 $S^2 = P \Sigma^2 P^T = P \Lambda P^T = A^T A$。
公式：S = P \Sigma P^T, \quad S^2 = A^T A
提示：注意 $S$ 的构造利用了特征值的平方根，确保 $S$ 正定。
步骤 4/5
目标：定义 Q 并验证正交性
令 $Q = A S^{-1}$。计算 $Q^T Q = (S^{-1})^T A^T A S^{-1} = S^{-1} (A^T A) S^{-1} = S^{-1} S^2 S^{-1} = I$，所以 $Q$ 是正交矩阵。
公式：Q^T Q = I
提示：注意 $S$ 对称，故 $S^{-1}$ 也对称；利用 $S^2 = A^T A$ 简化。
步骤 5/5
目标：得到分解 A = Q S
由 $Q = A S^{-1}$ 得 $A = Q S$，其中 $Q$ 正交，$S$ 正定。证毕。
公式：A = Q S
提示：确保 $S$ 可逆，因为正定矩阵可逆。
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