合肥工业大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}
\cos \alpha & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
1 & 2 \cos \alpha & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \cos \alpha & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 2 \cos \alpha & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \cos \alpha
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：按第一行展开行列式
将 $n$ 阶行列式 $D_n$ 按第一行展开。第一行元素为 $\cos\alpha, 1, 0, \dots, 0$。展开后得到：
$$D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - 1 \cdot D_{n-2}$$
其中 $D_{n-1}$ 是去掉第一行第一列后的 $n-1$ 阶子式，$D_{n-2}$ 是去掉第一行第二列后的 $n-2$ 阶子式（注意符号）。
公式：$$D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - 1 \cdot D_{n-2}$$
提示：注意展开时符号：第一行第二列元素的代数余子式为 $(-1)^{1+2}M_{12} = -M_{12}$，而 $M_{12}$ 恰好是 $D_{n-2}$，所以系数为 $-1$。
步骤 2/7
目标：计算初始条件 $D_1$ 和 $D_2$
当 $n=1$ 时，$D_1 = \cos\alpha$。
当 $n=2$ 时，
$$D_2 = \begin{vmatrix} \cos\alpha & 1 \\ 1 & 2\cos\alpha \end{vmatrix} = \cos\alpha \cdot 2\cos\alpha - 1 \cdot 1 = 2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha$$
公式：$$D_1 = \cos\alpha, \quad D_2 = \cos 2\alpha$$
提示：注意 $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ 是三角恒等式。
步骤 3/7
目标：建立递推关系的特征方程
递推关系 $D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - D_{n-2}$ 是二阶线性齐次递推。设 $D_n = r^n$，代入得特征方程：
$$r^2 - \cos\alpha \cdot r + 1 = 0$$
公式：$$r^2 - \cos\alpha \cdot r + 1 = 0$$
提示：注意递推关系中的系数：$D_{n-2}$ 的系数是 $-1$，所以特征方程为 $r^2 - \cos\alpha \cdot r + 1 = 0$。
步骤 4/7
目标：求解特征根
解特征方程 $r^2 - \cos\alpha \cdot r + 1 = 0$，判别式 $\Delta = \cos^2\alpha - 4$。由于 $\cos\alpha \in [-1,1]$，$\Delta \leq -3 < 0$，故特征根为复数：
$$r = \frac{\cos\alpha \pm i\sqrt{4-\cos^2\alpha}}{2} = \cos\alpha \pm i\sin\alpha = e^{\pm i\alpha}$$
公式：$$r = e^{i\alpha}, \quad e^{-i\alpha}$$
提示：注意利用欧拉公式：$e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha$。
步骤 5/7
目标：写出通解形式
由于特征根为共轭复数，通解为：
$$D_n = A e^{i n\alpha} + B e^{-i n\alpha}$$
其中 $A, B$ 为待定常数。
公式：$$D_n = A e^{i n\alpha} + B e^{-i n\alpha}$$
提示：注意通解形式与实根情况不同，这里使用复指数形式。
步骤 6/7
目标：利用初始条件确定常数
代入 $n=1$ 和 $n=2$：
$$\begin{cases} A e^{i\alpha} + B e^{-i\alpha} = \cos\alpha \\ A e^{i2\alpha} + B e^{-i2\alpha} = \cos 2\alpha \end{cases}$$
利用欧拉公式，$\cos\alpha = \frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}$，$\cos 2\alpha = \frac{e^{i2\alpha}+e^{-i2\alpha}}{2}$。比较系数得 $A = B = \frac{1}{2}$。
公式：$$A = B = \frac{1}{2}$$
提示：注意将 $\cos n\alpha$ 写成指数形式，便于比较系数。
步骤 7/7
目标：得到最终表达式
将 $A, B$ 代入通解：
$$D_n = \frac{1}{2} e^{i n\alpha} + \frac{1}{2} e^{-i n\alpha} = \cos(n\alpha)$$
公式：$$D_n = \cos(n\alpha)$$
提示：最后结果简洁，注意验证 $n=1,2$ 时成立。
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