📝 合肥工业大学 2024年高等代数真题

1．计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}
\cos \alpha & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
1 & 2 \cos \alpha & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \cos \alpha & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 2 \cos \alpha & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \cos \alpha
\end{array}\right| .
$$

2．讨论方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a x_{1}+(a+3) x_{2}+x_{3}=-2 \\
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=a \\
x_{1}+x_{2}+a x_{3}=a^{2}
\end{array}\right.
$$

何时有无穷多解，唯一解，无解？并在有无穷多解时求通解．

3．已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．

4．设 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 为 $n$ 维实列向量．
（1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 等价于 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 。
（2）当 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 时，求 $\displaystyle r(A)$ ．

5．已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值．
（1）求 $A$ 的最小多项式和若尔当标准形．
（2）求 $A$ 可对角化的充要条件．

6．解答如下问题：
（1）设 $A$ 为上三角矩阵也为正交矩阵．证明：$A$ 为对角矩阵，且对角线元素为 $\displaystyle \pm 1$ ．
（2）设 $B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$ 和主对角线元素大于零的上三角矩阵 $R$ ，使得 $\displaystyle B=Q R$ ，并且这种分解是唯一的．

7．设数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，令 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，已知 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \beta$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in P, i=1,2, \cdots, n\right\}$ ．
（1）求 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数．
（2）证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ．
（1）求 $W$ 的一组基．
（2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间．
（3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量．
（4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。