合肥工业大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 为 $n$ 维实列向量．
（1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 等价于 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 。
（2）当 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 时，求 $\displaystyle r(A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算A的平方
由 $A = E - \xi \xi^T$，计算 $A^2$：
$A^2 = (E - \xi \xi^T)(E - \xi \xi^T) = E - 2\xi \xi^T + \xi \xi^T \xi \xi^T$。注意 $\xi \xi^T \xi \xi^T = \xi (\xi^T \xi) \xi^T = (\xi^T \xi) \xi \xi^T$，因为 $\xi^T \xi$ 是一个标量。
公式：$A^2 = E - 2\xi \xi^T + (\xi^T \xi) \xi \xi^T$
提示：注意矩阵乘法的结合律，以及 $\xi^T \xi$ 是标量，可以提到前面。
步骤 2/6
目标：建立A^2 = A的条件方程
令 $A^2 = A$，即 $E - 2\xi \xi^T + (\xi^T \xi) \xi \xi^T = E - \xi \xi^T$。两边消去 $E$，整理得 $(-2 + \xi^T \xi + 1)\xi \xi^T = 0$，即 $(\xi^T \xi - 1)\xi \xi^T = 0$。
公式：$(\xi^T \xi - 1)\xi \xi^T = 0$
提示：注意移项时符号不要出错。
步骤 3/6
目标：推导等价条件
由于 $\xi$ 是 $n$ 维实列向量，且 $\xi \neq 0$（否则 $A=E$，但 $A^2=A$ 恒成立，但题目隐含 $\xi$ 非零？实际上若 $\xi=0$，则 $\xi^T\xi=0$，但 $A=E$，$A^2=E$，不满足 $A^2=A$ 除非 $n=0$，所以 $\xi$ 非零），则 $\xi \xi^T$ 是非零矩阵。因此 $\xi^T \xi - 1 = 0$，即 $\xi^T \xi = 1$。反之，若 $\xi^T \xi = 1$，代入 $A^2$ 得 $A^2 = E - 2\xi \xi^T + \xi \xi^T = E - \xi \xi^T = A$。
提示：注意 $\xi \xi^T$ 非零的论证：若 $\xi \neq 0$，则 $\xi \xi^T$ 至少有一个非零元素。
步骤 4/6
目标：证明完成，开始求秩
当 $\xi^T \xi = 1$ 时，$A = E - \xi \xi^T$。这是一个投影矩阵，投影到 $\xi$ 的正交补空间。
提示：投影矩阵的性质：$A^2 = A$ 且对称（这里 $A$ 对称）。
步骤 5/6
目标：分析A的核空间
考虑线性变换 $A$ 对任意向量 $x$ 的作用：$Ax = x - (\xi^T x)\xi$。若 $Ax=0$，则 $x = (\xi^T x)\xi$，即 $x$ 与 $\xi$ 共线。因此核空间 $\ker(A) = \{ t\xi \mid t \in \mathbb{R} \}$，维数为1。
公式：$Ax = x - (\xi^T x)\xi$
提示：注意 $\xi^T x$ 是标量。
步骤 6/6
目标：计算A的秩
由秩-零化度定理，$r(A) = n - \dim\ker(A) = n - 1$。
公式：$r(A) = n - 1$
提示：秩-零化度定理：对于 $n$ 维空间上的线性变换，秩 + 零度 = n。
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