合肥工业大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与基本思路
已知 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $AB=BA$，要证明秩不等式 $r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(AB)$。考虑将 $A, B$ 视为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，利用像空间与核空间的性质。
提示：注意 $AB=BA$ 是核心条件，保证 $\mathrm{Im}(AB) \subseteq \mathrm{Im}(A) \cap \mathrm{Im}(B)$。
步骤 2/6
目标：定义像空间并利用交换性
设 $U = \mathrm{Im}(A)$，$V = \mathrm{Im}(B)$，即 $A$ 和 $B$ 的像空间。由 $AB=BA$，对任意 $x \in V$，有 $ABx = A(Bx) \in U$，且 $ABx = B(Ax) \in V$，因此 $\mathrm{Im}(AB) \subseteq U \cap V$。
公式：$\mathrm{Im}(AB) \subseteq \mathrm{Im}(A) \cap \mathrm{Im}(B)$
提示：注意 $\mathrm{Im}(AB)$ 不一定等于 $U \cap V$，只是子空间。
步骤 3/6
目标：利用维数公式建立关系
根据维数公式，$\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$。由于 $r(A) = \dim U$，$r(B) = \dim V$，所以 $r(A)+r(B) = \dim(U+V) + \dim(U \cap V)$。
公式：$\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$
提示：注意维数公式适用于有限维线性空间。
步骤 4/6
目标：估计 $r(A+B)$ 的上界
考虑 $A+B$ 的像空间：对任意 $x \in V$，$(A+B)x = Ax + Bx \in U+V$，因此 $\mathrm{Im}(A+B) \subseteq U+V$，从而 $r(A+B) = \dim \mathrm{Im}(A+B) \leq \dim(U+V)$。
公式：$\mathrm{Im}(A+B) \subseteq U+V$
提示：注意 $A+B$ 的像不一定等于 $U+V$，可能更小。
步骤 5/6
目标：估计 $r(AB)$ 的上界
由第二步，$\mathrm{Im}(AB) \subseteq U \cap V$，因此 $r(AB) = \dim \mathrm{Im}(AB) \leq \dim(U \cap V)$。
公式：$\mathrm{Im}(AB) \subseteq U \cap V$
提示：注意 $U \cap V$ 可能比 $\mathrm{Im}(AB)$ 大。
步骤 6/6
目标：合并不等式得到结论
将第三步的等式与第四、五步的不等式结合：$r(A)+r(B) = \dim(U+V) + \dim(U \cap V) \geq r(A+B) + r(AB)$。因此原不等式成立。
公式：$r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(AB)$
提示：注意不等式方向：$\dim(U+V) \geq r(A+B)$ 且 $\dim(U \cap V) \geq r(AB)$，所以和大于等于和。
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