合肥工业大学 2024年高等代数第5题

计算矩阵 $A$ 的特征多项式： $$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -5 & -5 \\ 0 & \lambda-4 & -3 \\ 0 & -a & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-1)[(\lambda-4)(\lambda-2)-3a] = (\lambda-1)(\lambda^2-6\lambda+8-3a).$$

已知 $A$ 有一个二重特征值，有两种可能： - 情况1：$\lambda=1$ 是二重根，则 $1$ 满足 $\lambda^2-6\lambda+8-3a=0$，即 $1-6+8-3a=3-3a=0$，解得 $a=1$。此时特征值为 $1$（二重）和 $5$（单根）。 - 情况2：二次因子有重根，则判别式 $\Delta=36-4(8-3a)=4+12a=0$，解得 $a=-\frac{1}{3}$。此时重根为 $\lambda=3$，特征值为 $1$（单根）和 $3$（二重）。

当 $a=1$ 时，$A=\begin{pmatrix}1&5&5\\0&4&3\\0&1&2\end{pmatrix}$。 - 对于 $\lambda=1$：解 $(I-A)\mathbf{x}=0$，得 $\begin{pmatrix}0&-5&-5\\0&-3&-3\\0&-1&-1\end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，秩为1，几何重数为2，有两个线性无关特征向量，对应两个1阶若尔当块。 - 对于 $\lambda=5$：解 $(5I-A)\mathbf{x}=0$，得 $\begin{pmatrix}4&-5&-5\\0&1&-3\\0&-1&3\end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，秩为2，几何重数为1，对应一个1阶若尔当块。 因此若尔当标准形为 $\operatorname{diag}(1,1,5)$。

由于 $A$ 可对角化，最小多项式为所有不同特征值的一次因式之积，即 $m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$。

当 $a=-\frac{1}{3}$ 时，$A=\begin{pmatrix}1&5&5\\0&4&3\\0&-\frac{1}{3}&2\end{pmatrix}$。 - 对于 $\lambda=3$：解 $(3I-A)\mathbf{x}=0$，得 $\begin{pmatrix}2&-5&-5\\0&-1&-3\\0&\frac{1}{3}&1\end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，第二行与第三行成比例，秩为2，几何重数为1，对应一个2阶若尔当块。 - 对于 $\lambda=1$：解 $(I-A)\mathbf{x}=0$，得 $\begin{pmatrix}0&-5&-5\\0&-3&-3\\0&\frac{1}{3}&-1\end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，秩为2，几何重数为1，对应一个1阶若尔当块。 因此若尔当标准形为 $\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。

由于 $\lambda=3$ 对应一个2阶若尔当块，最小多项式包含因子 $(\lambda-3)^2$，而 $\lambda=1$ 为单根，故 $m(\lambda)=(\lambda-3)^2(\lambda-1)$。

矩阵可对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于代数重数。 - 当 $a=1$ 时，特征值1的几何重数为2等于代数重数2，特征值5的几何重数为1等于代数重数1，故可对角化。 - 当 $a=-\frac{1}{3}$ 时，特征值3的几何重数为1小于代数重数2，故不可对角化。 因此 $A$ 可对角化的充要条件是 $a=1$。