合肥工业大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．解答如下问题：
（1）设 $A$ 为上三角矩阵也为正交矩阵．证明：$A$ 为对角矩阵，且对角线元素为 $\displaystyle \pm 1$ ．
（2）设 $B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$ 和主对角线元素大于零的上三角矩阵 $R$ ，使得 $\displaystyle B=Q R$ ，并且这种分解是唯一的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明上三角正交矩阵为对角矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶上三角正交矩阵，则 $A^T A = I$ 且 $A$ 为上三角。由于 $A$ 可逆，$A^{-1} = A^T$。上三角矩阵的逆仍为上三角，而 $A^T$ 是下三角，因此 $A^T$ 既是上三角又是下三角，故 $A^T$ 为对角矩阵，从而 $A$ 也为对角矩阵。
公式：A^T = A^{-1}
提示：注意上三角矩阵的逆仍是上三角，而转置是下三角，两者相等推出对角形。
步骤 2/6
目标：证明对角元为 ±1
设 $A = \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})$，由正交性 $A^T A = I$ 得 $a_{ii}^2 = 1$，故 $a_{ii} = \pm 1$。
公式：A^T A = I
提示：对角矩阵的正交条件即每个对角元的平方为1。
步骤 3/6
目标：QR分解的存在性：Gram-Schmidt正交化
设 $B = (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n)$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵。对列向量组进行Gram-Schmidt正交化：令 $\alpha_1 = \beta_1$，$\alpha_k = \beta_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \beta_k, \alpha_i \rangle}{\langle \alpha_i, \alpha_i \rangle} \alpha_i$，得到正交向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$。再单位化：$\gamma_i = \frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|}$，得到标准正交基 $\gamma_1, \dots, \gamma_n$。
公式：\alpha_k = \beta_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \beta_k, \alpha_i \rangle}{\langle \alpha_i, \alpha_i \rangle} \alpha_i
提示：注意Gram-Schmidt过程要求向量组线性无关，可逆矩阵保证列向量线性无关。
步骤 4/6
目标：QR分解的存在性：构造Q和R
由正交化过程，$\beta_j$ 可表示为 $\gamma_1, \dots, \gamma_j$ 的线性组合：$\beta_j = \sum_{i=1}^j r_{ij} \gamma_i$，其中 $r_{ij} = \langle \beta_j, \gamma_i \rangle$。令 $Q = (\gamma_1, \dots, \gamma_n)$，则 $Q$ 为正交矩阵。令 $R = (r_{ij})$，则 $R$ 为上三角矩阵，且 $r_{ii} = \|\alpha_i\| > 0$。于是 $B = QR$。
公式：\beta_j = \sum_{i=1}^j r_{ij} \gamma_i, \quad r_{ij} = \langle \beta_j, \gamma_i \rangle
提示：注意 $r_{ii} > 0$ 是因为 $\alpha_i$ 非零，其长度为正。
步骤 5/6
目标：QR分解的唯一性：设两种分解并推导
设 $B = Q_1 R_1 = Q_2 R_2$，其中 $Q_1, Q_2$ 正交，$R_1, R_2$ 上三角且对角元为正。则 $Q_2^T Q_1 = R_2 R_1^{-1}$。左边是正交矩阵，右边是上三角矩阵（因为上三角矩阵的逆和乘积仍为上三角）。
公式：Q_2^T Q_1 = R_2 R_1^{-1}
提示：注意正交矩阵的乘积和逆仍正交，上三角矩阵的逆和乘积仍上三角。
步骤 6/6
目标：QR分解的唯一性：利用第(1)问结论
由第(1)问，既是正交又是上三角的矩阵必为对角矩阵且对角元为 $\pm 1$。因此 $R_2 R_1^{-1}$ 是对角矩阵，且对角元为 $\pm 1$。又因为 $R_1, R_2$ 的对角元为正，所以 $R_2 R_1^{-1}$ 的对角元为正，故只能为 $I$，即 $R_2 = R_1$，进而 $Q_2 = Q_1$。唯一性得证。
提示：注意对角元为正的条件排除了 $-1$ 的可能性。
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