合肥工业大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．设数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，令 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，已知 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \beta$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in P, i=1,2, \cdots, n\right\}$ ．
（1）求 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数．
（2）证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解子空间V2的定义
由题意，$V_2 = \{ \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i \mid \sum_{i=1}^n k_i = 0, k_i \in P \}$。即所有系数之和为零的线性组合构成的子空间。
提示：注意系数和为零的条件，这是构造基的关键。
步骤 2/7
目标：构造V2的一组基
取 $\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_n, \beta_2 = \alpha_2 - \alpha_n, \ldots, \beta_{n-1} = \alpha_{n-1} - \alpha_n$。显然每个 $\beta_i$ 的系数之和为 $1+(-1)=0$，故 $\beta_i \in V_2$。
提示：构造时通常选择与最后一个基向量作差，确保线性无关。
步骤 3/7
目标：证明构造的向量组线性无关
设 $c_1 \beta_1 + \cdots + c_{n-1} \beta_{n-1} = 0$，即 $c_1(\alpha_1-\alpha_n)+\cdots+c_{n-1}(\alpha_{n-1}-\alpha_n)=0$，整理得 $c_1\alpha_1+\cdots+c_{n-1}\alpha_{n-1} - (c_1+\cdots+c_{n-1})\alpha_n=0$。由于 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性无关，故 $c_1=\cdots=c_{n-1}=0$，从而 $\beta_1,\ldots,\beta_{n-1}$ 线性无关。
提示：利用基的线性无关性，系数全为零。
步骤 4/7
目标：证明V2中任意向量可由该组表示
对任意 $\sum_{i=1}^n k_i \alpha_i \in V_2$，有 $\sum_{i=1}^n k_i = 0$，故 $k_n = -\sum_{i=1}^{n-1} k_i$。于是 $\sum_{i=1}^n k_i \alpha_i = \sum_{i=1}^{n-1} k_i \alpha_i + (-\sum_{i=1}^{n-1} k_i)\alpha_n = \sum_{i=1}^{n-1} k_i (\alpha_i - \alpha_n) = \sum_{i=1}^{n-1} k_i \beta_i$。因此 $\beta_1,\ldots,\beta_{n-1}$ 是 $V_2$ 的一组基，维数为 $n-1$。
提示：注意系数和为零的条件用于消去 $k_n$。
步骤 5/7
目标：证明V1与V2的交集为零
设 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $\alpha = c\beta$ 且 $\alpha = \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i$ 满足 $\sum k_i = 0$。由基的线性无关性，$c = k_1 = \cdots = k_n$。代入 $\sum k_i = 0$ 得 $nc=0$，故 $c=0$，从而 $\alpha = 0$。所以 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意 $\beta$ 的系数全为1，因此 $c\beta$ 的系数全为c。
步骤 6/7
目标：证明V等于V1与V2的和
对任意 $\alpha = \sum_{i=1}^n a_i \alpha_i \in V$，令 $c = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i$。则 $\alpha = c\beta + \sum_{i=1}^n (a_i - c)\alpha_i$。由于 $\sum_{i=1}^n (a_i - c) = \sum a_i - nc = 0$，故 $\sum (a_i - c)\alpha_i \in V_2$，而 $c\beta \in V_1$，所以 $\alpha \in V_1 + V_2$。因此 $V = V_1 + V_2$。
提示：构造c时注意除以n，确保系数和为零。
步骤 7/7
目标：结论：直和分解
由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 和 $V = V_1 + V_2$ 得 $V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足交为零且和为全空间。
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