合肥工业大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ．
（1）求 $W$ 的一组基．
（2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间．
（3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量．
（4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定子空间W的结构并求基
子空间 $W$ 定义为 $W=\left\{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \mid x_2+x_3=0\right\}$，即 $x_3=-x_2$。因此 $W$ 中矩阵形如 $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ -x_2 & x_4 \end{pmatrix}$。取基：$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$E_{12}-E_{21}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，$E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，故一组基为 $\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}$。
提示：注意 $W$ 的维数为3，基的选取不唯一，但需确保线性无关且张成 $W$。
步骤 2/5
目标：证明W是A的不变子空间
对任意 $X\in W$，设 $X=\begin{pmatrix}x_1&x_2\\-x_2&x_4\end{pmatrix}$，计算 $\mathscr{A}(X)=XB-BX$，其中 $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$。
$XB=\begin{pmatrix}x_1&x_2\\-x_2&x_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2 & x_1+x_2\\ -x_2+x_4 & -x_2+x_4\end{pmatrix}$，
$BX=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1&x_2\\-x_2&x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1-x_2 & x_2+x_4\\ x_1-x_2 & x_2+x_4\end{pmatrix}$，
相减得 $\mathscr{A}(X)=\begin{pmatrix}2x_2 & x_1-x_4\\ -x_1+x_4 & -2x_2\end{pmatrix}$。
该矩阵的 $(2,1)$ 元为 $-x_1+x_4$，$(1,2)$ 元为 $x_1-x_4$，满足 $x_1-x_4+(-x_1+x_4)=0$，故 $\mathscr{A}(X)\in W$，所以 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间。
公式：$\mathscr{A}(X)=XB-BX$
提示：验证不变子空间需检查对任意 $X\in W$，$\mathscr{A}(X)$ 仍满足 $W$ 的定义条件。
步骤 3/5
目标：求A1在基下的矩阵
在基 $\alpha_1=E_{11},\alpha_2=E_{12}-E_{21},\alpha_3=E_{22}$ 下，计算 $\mathscr{A}_1$ 的矩阵。
$\mathscr{A}(\alpha_1)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\alpha_2$，
$\mathscr{A}(\alpha_2)=\begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}=2\alpha_1-2\alpha_3$，
$\mathscr{A}(\alpha_3)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=-\alpha_2$。
所以 $\mathscr{A}_1$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix}0&2&0\\1&0&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}$。
公式：$\mathscr{A}(\alpha_j)=\sum_i a_{ij}\alpha_i$
提示：注意矩阵 $A$ 的第 $j$ 列是 $\mathscr{A}(\alpha_j)$ 在基下的坐标。
步骤 4/5
目标：求A1的特征值和特征向量
特征多项式 $|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda&-2&0\\-1&\lambda&1\\0&2&\lambda\end{vmatrix}=\lambda(\lambda^2+2)-(-2)(-\lambda)+0=\lambda^3+2\lambda-2\lambda=\lambda^3$，特征值 $\lambda=0$（三重）。
解 $(0I-A)X=0$，即 $\begin{pmatrix}0&-2&0\\-1&0&1\\0&-2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$，得 $x_2=0$，$-x_1+x_3=0$，即 $x_3=x_1$，$x_2=0$。特征向量为 $k\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，对应 $W$ 中矩阵 $k(\alpha_1+\alpha_3)=k\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$。
公式：$|\lambda I-A|=0$
提示：特征值0的代数重数为3，但几何重数为1，说明 $\mathscr{A}_1$ 不可对角化。
步骤 5/5
目标：判断是否存在基使A1的矩阵为对角矩阵
由于特征值0的几何重数为1，小于代数重数3，故 $\mathscr{A}_1$ 不能对角化。因此不存在 $W$ 的一组基使得 $\mathscr{A}_1$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。
提示：注意：若线性变换不可对角化，则无法找到一组基使其矩阵为对角阵。
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