合肥工业大学 2025年高等代数第8题

8、设 $V$ 是 $C$ 上的 2 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $V$ 的一组基，线性变换中将 $C$ 降维到 $R$ ， $V$ 可视为 $R$ 上的线性空间记为 $\displaystyle V_{R}$ ，记 $\displaystyle \mathscr{N}_{R}$ 为 $\displaystyle \propto \mid V_{R}$ 上的线性变换． （1）设 $\displaystyle \alpha_{3}=i \alpha_{1}, \partial_{4}=i \alpha_{2}, i^{2}=-1$ ，试证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $R$ 的一组基． （2）若设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle a_{i j}=O_{i j}+i V_{i j},(i, j=1,2)$ ，试求 $\displaystyle \mathscr{A}_{R}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵。