合肥工业大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7、已知 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设 $\displaystyle M \in P^{n \times n}$ ，令 $\displaystyle A=f(M), B=g(M)$ 且设 $\displaystyle w, w_{1}, w_{2}$ 分别为 $\displaystyle A B x=0, A x=0, B x=0$ 的解空间，试证明 $\displaystyle w=w_{1} \otimes w_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由互素条件得到多项式恒等式
由于 $(f(x), g(x)) = 1$，存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。将 $M$ 代入得 $u(M)f(M) + v(M)g(M) = I$，即 $u(M)A + v(M)B = I$。
公式：u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1
提示：注意矩阵多项式代入时保持顺序，因为矩阵乘法不交换，但这里 $u(M)$ 与 $A$ 可交换，因为都是 $M$ 的多项式。
步骤 2/5
目标：证明 $w_1 \cap w_2 = \{0\}$
设 $x \in w_1 \cap w_2$，则 $Ax = 0$ 且 $Bx = 0$。利用恒等式：$x = Ix = (u(M)A + v(M)B)x = u(M)(Ax) + v(M)(Bx) = 0$，故 $x = 0$，因此 $w_1 \cap w_2 = \{0\}$。
公式：x = (u(M)A + v(M)B)x
提示：注意 $u(M)$ 和 $A$ 可交换，但这里直接代入即可，无需交换。
步骤 3/5
目标：证明 $w_1 + w_2 \subseteq w$
任取 $x_1 \in w_1$，则 $Ax_1 = 0$，于是 $ABx_1 = BAx_1 = 0$，故 $x_1 \in w$。同理，任取 $x_2 \in w_2$，则 $Bx_2 = 0$，于是 $ABx_2 = 0$，故 $x_2 \in w$。因此 $w_1 + w_2 \subseteq w$。
提示：注意 $A$ 和 $B$ 可交换，因为都是 $M$ 的多项式。
步骤 4/5
目标：证明 $w \subseteq w_1 + w_2$
任取 $x \in w$，即 $ABx = 0$。令 $x_1 = v(M)Bx$，$x_2 = u(M)Ax$。则 $x = Ix = (u(M)A + v(M)B)x = u(M)Ax + v(M)Bx = x_2 + x_1$。计算 $Ax_1 = A v(M) B x = v(M) A B x = 0$，故 $x_1 \in w_1$。计算 $B x_2 = B u(M) A x = u(M) B A x = u(M) A B x = 0$，故 $x_2 \in w_2$。因此 $x = x_2 + x_1 \in w_2 + w_1 = w_1 + w_2$。
公式：x = u(M)Ax + v(M)Bx
提示：注意 $A$ 和 $B$ 可交换，所以 $B u(M) A = u(M) B A = u(M) A B$。
步骤 5/5
目标：得出直和结论
由 $w_1 \cap w_2 = \{0\}$ 和 $w = w_1 + w_2$，知 $w = w_1 \oplus w_2$（直和）。题目中 $w = w_1 \otimes w_2$ 应为 $w = w_1 \oplus w_2$ 之误，因为解空间是子空间的和而非张量积。
提示：注意直和符号 $\oplus$ 与张量积 $\otimes$ 的区别。
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