合肥工业大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6、已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+3 x-1$ ，试确定 $a$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)$ 有重根，并求重根及重数 $\displaystyle (a \in R)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求导数并设重根条件
多项式有重根的充要条件是 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式。先求导：$f'(x)=3x^2+2ax+3$。设重根为 $r$，则 $f(r)=0$ 且 $f'(r)=0$。
公式：f'(x)=3x^2+2ax+3
提示：注意重根的定义：若 $r$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重根，则 $f(r)=f'(r)=\cdots=f^{(k-1)}(r)=0$，但 $f^{(k)}(r)\neq0$。
步骤 2/6
目标：列出方程组
由 $f(r)=0$ 得：$r^3+ar^2+3r-1=0$ (1)
由 $f'(r)=0$ 得：$3r^2+2ar+3=0$ (2)
提示：方程组中 $a$ 和 $r$ 都是未知数，需要联立消元。
步骤 3/6
目标：消去 $a$ 得到关于 $r$ 的方程
将 (2) 乘以 $r$ 得：$3r^3+2ar^2+3r=0$ (3)
(3) 减去 (1) 乘以 3 得：$(3r^3+2ar^2+3r)-3(r^3+ar^2+3r-1)=0$，整理得：$-ar^2-6r+3=0$，即 $ar^2+6r-3=0$ (4)
由 (2) 解出 $a$：$a=\frac{-3r^2-3}{2r}$（$r\neq0$），代入 (4) 得：$\frac{-3r^2-3}{2r}\cdot r^2+6r-3=0$，化简得 $-3r^3+9r-6=0$，即 $r^3-3r+2=0$。
公式：r^3-3r+2=0
提示：消元时注意 $r=0$ 的情况需单独讨论，但代入原方程易知 $r=0$ 不满足，故可除 $r$。
步骤 4/6
目标：解 $r$ 的方程
因式分解 $r^3-3r+2=0$，尝试 $r=1$ 代入得 $1-3+2=0$，故有因式 $(r-1)$。多项式除法得 $(r-1)(r^2+r-2)=(r-1)^2(r+2)=0$，所以 $r=1$ 或 $r=-2$。
公式：(r-1)^2(r+2)=0
提示：因式分解时注意观察有理根，常用试根法。
步骤 5/6
目标：求对应的 $a$ 值并验证重根
当 $r=1$ 时，代入 (2) 得 $3+2a+3=0$，解得 $a=-3$。此时 $f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$，重根 $x=1$，重数 3。
当 $r=-2$ 时，代入 (2) 得 $12-4a+3=0$，解得 $a=\frac{15}{4}$。此时 $f(x)=x^3+\frac{15}{4}x^2+3x-1$，验证 $f(-2)=0$，$f'(-2)=0$，且 $f''(-2)=6r+2a=-12+\frac{15}{2}=-\frac{9}{2}\neq0$，故重根 $x=-2$，重数 2。
提示：验证重数时需检查更高阶导数是否为零。对于三次多项式，若一阶导为零而二阶导非零，则为二重根；若二阶导也为零，则为三重根。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，$a=-3$ 时，重根 $x=1$，重数 3；$a=\frac{15}{4}$ 时，重根 $x=-2$，重数 2。
提示：注意答案需完整写出所有情况。
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