合肥工业大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5、已知矩阵的迹为 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ，其中 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ．
（1）证明 $\displaystyle \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(k A)=\operatorname{tr}(A), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．
（2）空间 $\displaystyle U=\left\{B \in P^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(B)=0\right\}$ ，试确定 $U$ 的维数，并求 $U$ 的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明迹的线性性：tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$, $B=(b_{ij})_{n\times n}$，则 $A+B$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列元素为 $a_{ii}+b_{ii}$。因此，
$$\operatorname{tr}(A+B)=\sum_{i=1}^n (a_{ii}+b_{ii})=\sum_{i=1}^n a_{ii}+\sum_{i=1}^n b_{ii}=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B).$$
公式：$$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$$
提示：注意迹只取对角线上元素的和，非对角线元素不影响。
步骤 2/7
目标：证明迹的线性性：tr(kA)=k tr(A)
设 $k$ 为常数，则 $kA$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列元素为 $k a_{ii}$。因此，
$$\operatorname{tr}(kA)=\sum_{i=1}^n (k a_{ii})=k\sum_{i=1}^n a_{ii}=k\operatorname{tr}(A).$$
公式：$$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}(A)$$
提示：常数因子可以直接提出求和号。
步骤 3/7
目标：证明迹的循环性质：tr(AB)=tr(BA)
计算 $AB$ 的第 $i$ 个对角元：$(AB)_{ii}=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$。因此，
$$\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}.$$ 交换求和顺序得 $\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}$，这正是 $\operatorname{tr}(BA)$。
公式：$$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$
提示：注意矩阵乘法顺序不可交换，但迹在循环置换下不变。
步骤 4/7
目标：确定子空间U的维数
$U=\{B\in P^{n\times n}\mid \operatorname{tr}(B)=0\}$ 是 $P^{n\times n}$ 的子空间。$P^{n\times n}$ 的维数为 $n^2$。迹条件 $\sum_{i=1}^n b_{ii}=0$ 是一个线性方程，且系数不全为零，因此减少一个自由度，故 $\dim U = n^2-1$。
公式：$$\dim U = n^2-1$$
提示：线性方程约束减少一个自由度，但需确保方程非平凡。
步骤 5/7
目标：构造U的一组基：非对角元部分
考虑标准基 $E_{ij}$（第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其余为0）。对于 $i\neq j$，$E_{ij}$ 的对角元全为0，因此迹为0，属于 $U$。共有 $n^2-n$ 个这样的矩阵。
提示：非对角元矩阵的迹自然为0，可直接取为标准基。
步骤 6/7
目标：构造U的一组基：对角元部分
对角元需满足 $\sum_{i=1}^n b_{ii}=0$。取 $E_{11}-E_{ii}$（$i=2,\dots,n$），这些矩阵的迹为 $1-1=0$，且线性无关。共有 $n-1$ 个。
提示：注意 $E_{11}-E_{22}, E_{11}-E_{33}, \dots, E_{11}-E_{nn}$ 线性无关，且不能包含 $E_{11}$ 本身（因为迹不为0）。
步骤 7/7
目标：验证基的个数并总结
非对角元部分有 $n^2-n$ 个，对角元部分有 $n-1$ 个，总数为 $(n^2-n)+(n-1)=n^2-1$，与维数一致。因此 $U$ 的一组基为：
$$\{E_{ij}\mid i\neq j,\,1\leq i,j\leq n\}\cup\{E_{11}-E_{ii}\mid i=2,\dots,n\}.$$
提示：基的选取不唯一，但需确保线性无关且张成整个子空间。
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