合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
一．（12 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{1}-x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1} & a_{2}-x_{2} & \cdots & a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}-x_{n}
\end{array}\right| .
$$
其中 $\displaystyle x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \neq 0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：拆分第一列
将行列式 $D_n$ 的第一列拆分为两个列向量的和：$\begin{pmatrix} a_1 - x_1 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -x_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$，从而将原行列式拆分为两个行列式的和：
$$D_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 - x_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n - x_n \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -x_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & a_2 - x_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_2 & \cdots & a_n - x_n \end{vmatrix}$$
公式：行列式按列拆分性质：$\det(\alpha+\beta, \cdots) = \det(\alpha, \cdots) + \det(\beta, \cdots)$
提示：注意拆分时只有第一列变化，其他列保持不变。
步骤 2/6
目标：计算第一个行列式
记第一个行列式为 $D_n^{(1)}$。将第1列乘以 $-1$ 加到第2,3,...,n列，得到：
$$D_n^{(1)} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 - a_1 & \cdots & a_n - a_1 \\ a_1 & a_2 - x_2 - a_1 & \cdots & a_n - a_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 - a_1 & \cdots & a_n - x_n - a_1 \end{vmatrix}$$
再将第1行乘以 $-1$ 加到第2,3,...,n行，得到：
$$D_n^{(1)} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 - a_1 & \cdots & a_n - a_1 \\ 0 & -x_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -x_n \end{vmatrix}$$
这是上三角行列式，对角线上元素为 $a_1, -x_2, \dots, -x_n$，因此 $D_n^{(1)} = a_1 \cdot (-x_2) \cdots (-x_n) = a_1 (-1)^{n-1} x_2 x_3 \cdots x_n$。
公式：上三角行列式等于对角线上元素的乘积。
提示：注意符号：$(-x_2)\cdots(-x_n)$ 有 $n-1$ 个负号，所以结果为 $(-1)^{n-1} x_2\cdots x_n$。
步骤 3/6
目标：计算第二个行列式
记第二个行列式为 $D_n^{(2)}$。按第一列展开，第一列只有第一个元素非零，且为 $-x_1$，其余元素为0，余子式为 $n-1$ 阶行列式：
$$D_n^{(2)} = (-x_1) \cdot \begin{vmatrix} a_2 - x_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_2 & a_3 - x_3 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_2 & a_3 & \cdots & a_n - x_n \end{vmatrix}$$
这个 $n-1$ 阶行列式与 $D_n$ 结构相同，只是将 $a_i$ 替换为 $a_{i+1}$，$x_i$ 替换为 $x_{i+1}$，记作 $D_{n-1}'$。因此 $D_n^{(2)} = -x_1 D_{n-1}'$。
公式：行列式按第一列展开：$\det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} M_{i1}$，这里只有 $i=1$ 项非零。
提示：注意余子式的符号：$(-1)^{1+1}=1$，所以展开后为 $(-x_1) \cdot M_{11}$，其中 $M_{11}$ 是去掉第一行第一列后的行列式。
步骤 4/6
目标：建立递推关系
由前两步得到：
$$D_n = D_n^{(1)} + D_n^{(2)} = a_1 (-1)^{n-1} x_2 x_3 \cdots x_n - x_1 D_{n-1}'$$
其中 $D_{n-1}'$ 是 $n-1$ 阶行列式，形式与 $D_{n-1}$ 相同，但参数为 $a_2,\dots,a_n$ 和 $x_2,\dots,x_n$。因此，我们可以递推求解。
公式：递推公式：$D_n = a_1 (-1)^{n-1} \prod_{j=2}^n x_j - x_1 D_{n-1}'$
提示：注意递推时下标对应关系，$D_{n-1}'$ 的 $a_i' = a_{i+1}$，$x_i' = x_{i+1}$。
步骤 5/6
目标：递推求解
对 $D_{n-1}'$ 重复上述过程，可得：
$$D_{n-1}' = a_2 (-1)^{n-2} x_3 \cdots x_n - x_2 D_{n-2}''$$
其中 $D_{n-2}''$ 类似。继续递推，直到 $D_1$。最终得到：
$$D_n = (-1)^{n-1} \left( a_1 x_2 \cdots x_n + a_2 x_1 x_3 \cdots x_n + \cdots + a_n x_1 \cdots x_{n-1} \right) + (-1)^n x_1 x_2 \cdots x_n \cdot \left( \frac{a_1}{x_1} + \frac{a_2}{x_2} + \cdots + \frac{a_n}{x_n} - 1 \right)$$
整理得：
$$D_n = (-1)^n \prod_{i=1}^n x_i \left( 1 - \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{x_i} \right)$$
公式：递推求和公式：$\sum_{i=1}^n a_i \prod_{j \neq i} x_j$
提示：注意符号变化：每递推一次，$(-1)^{n-1}$ 中的指数减1，最终得到 $(-1)^n$。另外，最后一项的符号要仔细核对。
步骤 6/6
目标：验证结果
当 $n=1$ 时，$D_1 = a_1 - x_1$。代入公式：$(-1)^1 x_1 (1 - a_1/x_1) = -x_1 + a_1$，正确。当 $n=2$ 时，可自行验证。
提示：验证是检查推导正确性的重要步骤，尤其注意符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。