📝 合肥工业大学 2026年高等代数真题

一．（12 分）计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{1}-x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1} & a_{2}-x_{2} & \cdots & a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}-x_{n}
\end{array}\right| .
$$

其中 $\displaystyle x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \neq 0$ ．

七．（15 分）设 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right), n \geq 2$ ．
（1）求 $A$ 的所有特征值与特征向量．
（2）求 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。

三．（14 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆方阵，$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 为 $P$ 上的 $n$ 维列向量．
（1）试用分块矩阵理论证明：$\displaystyle \left|A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}\right|=|A|\left(1-\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ．
（2）当 $\displaystyle \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha=k \neq 1$ 时，求 $\displaystyle A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 的逆矩阵。

九．（14 分）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换．
（1）证明：如果 $n$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 1 维不变子空间．
（2）证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 没有1维不变子空间，那么 $\displaystyle \mathscr{A}$ 必有2维不变子空间。

二．（15 分）已知线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\
5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\
a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=c
\end{array}\right.
$$

有 3 个线性无关的解．
（1）证明该线性方程组系数矩阵的秩为 2 ．
（2）求参数 $\displaystyle a, b, c$ 的值以及该线性方程组的通解．

五．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 3 阶对称矩阵关于通常矩阵加法与矩阵数乘构成的线性空间，考察 $V$ 的子空间

$$
U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{k E \mid k \in P\} .
$$

其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

八．（12 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{O}$ ．证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & O \\ E_{r} & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathscr{A}(V)$ ．

六．（14 分）设 $A$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 2 阶方阵，记 $\displaystyle W_{A}=\left\{Y \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \mid A Y=Y A\right\}$ 。
（1）证明：$\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 的子空间．
（2）讨论 $\displaystyle W_{A}$ 的维数所有可能的值．

十．（15 分）设 $A$ 是复数域上的 6 阶方阵，$A$ 的最小多项式为 $\displaystyle d(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=6$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹．
（1）求 $A$ 的特征多项式以及 Jordan 标准型．
（2）求 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的 Jordan 标准形．

十一．（12 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，证明：$A$ 是正定矩阵的充分必要条件是存在 $n$ 阶正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{2}$ ．

四．（12 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次首一多项式，$\displaystyle n \geq 1$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 有 $n$个根 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，重根按重数计算，$\displaystyle c \in P$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根．证明：

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-c}=-\frac{f^{\prime}(c)}{f(c)}
$$

其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1}$ ．