合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（14 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆方阵，$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 为 $P$ 上的 $n$ 维列向量．
（1）试用分块矩阵理论证明：$\displaystyle \left|A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}\right|=|A|\left(1-\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ．
（2）当 $\displaystyle \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha=k \neq 1$ 时，求 $\displaystyle A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 的逆矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造分块矩阵并利用行列式公式
考虑分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix}$。由于 $A$ 可逆，利用分块矩阵的行列式公式：$\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B)$，其中 $B = \alpha$, $C = \beta^{\mathrm{T}}$, $D = 1$，得到 $\det\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix} = |A| (1 - \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B)$
提示：注意公式中 $A$ 必须可逆，且 $D$ 是标量时 $D - C A^{-1} B$ 也是标量。
步骤 2/5
目标：通过初等变换得到另一表达式
对分块矩阵进行初等行变换：左乘 $\begin{pmatrix} I & -\alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，得到 $\begin{pmatrix} I & -\alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A - \alpha \beta^{\mathrm{T}} & 0 \\ \beta^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix}$。取行列式，左边行列式等于 $\det\begin{pmatrix} I & -\alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \det\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix}$，右边行列式为 $|A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}| \cdot 1 = |A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}|$。因此 $\det\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix} = |A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}|$。
公式：初等变换不改变行列式值（乘以行列式为1的矩阵）
提示：注意左乘的矩阵行列式为1，因此变换前后行列式相等。
步骤 3/5
目标：联立两式得证
由前两步得到 $|A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}| = |A| (1 - \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha)$，即证。
提示：注意 $\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha$ 是标量，顺序不可交换。
步骤 4/5
目标：利用Sherman-Morrison公式求逆
当 $k = \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha \neq 1$ 时，$A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 可逆。由 Sherman-Morrison 公式：$(A - \alpha \beta^{\mathrm{T}})^{-1} = A^{-1} + \frac{A^{-1} \alpha \beta^{\mathrm{T}} A^{-1}}{1 - \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha}$。
公式：$(A - uv^{\mathrm{T}})^{-1} = A^{-1} + \frac{A^{-1} u v^{\mathrm{T}} A^{-1}}{1 - v^{\mathrm{T}} A^{-1} u}$
提示：公式成立的条件是 $1 - v^{\mathrm{T}} A^{-1} u \neq 0$，即 $k \neq 1$。
步骤 5/5
目标：验证逆矩阵
计算 $(A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}) \left( A^{-1} + \frac{A^{-1} \alpha \beta^{\mathrm{T}} A^{-1}}{1 - k} \right) = I - \alpha \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} + \frac{(A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}) A^{-1} \alpha \beta^{\mathrm{T}} A^{-1}}{1 - k}$。其中 $(A - \alpha \beta^{\mathrm{T}}) A^{-1} \alpha = \alpha - \alpha \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha = \alpha (1 - k)$，代入得第二项为 $\frac{\alpha (1 - k) \beta^{\mathrm{T}} A^{-1}}{1 - k} = \alpha \beta^{\mathrm{T}} A^{-1}$，与第一项中的 $-\alpha \beta^{\mathrm{T}} A^{-1}$ 抵消，结果为 $I$。
提示：注意矩阵乘法顺序，$\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha$ 是标量，可提到前面。
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