合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（12 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次首一多项式，$\displaystyle n \geq 1$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 有 $n$个根 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，重根按重数计算，$\displaystyle c \in P$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根．证明：
$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-c}=-\frac{f^{\prime}(c)}{f(c)}
$$
其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将多项式表示为根的形式
由于 $f(x)$ 是首一多项式，且 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是它的全部根（重根按重数计算），因此 $f(x)$ 可以分解为 $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n)$。
公式：$f(x) = \prod_{i=1}^n (x - x_i)$
提示：注意 $f(x)$ 是首一多项式，所以分解后没有常数因子。
步骤 2/5
目标：计算 $f'(x)$ 的表达式
对 $f(x) = \prod_{i=1}^n (x - x_i)$ 求导，利用乘积法则，得到 $f'(x) = \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (x - x_j)$。即每一项是去掉一个因子后的乘积之和。
公式：$f'(x) = \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (x - x_j)$
提示：注意求导时不要遗漏项，每个因子求导后其他因子保持不变。
步骤 3/5
目标：代入 $x = c$ 并构造分式
将 $x = c$ 代入 $f'(x)$ 和 $f(x)$ 的表达式，得到 $f'(c) = \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (c - x_j)$，$f(c) = \prod_{j=1}^n (c - x_j)$。于是 $\frac{f'(c)}{f(c)} = \frac{\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (c - x_j)}{\prod_{j=1}^n (c - x_j)}$。
公式：$\frac{f'(c)}{f(c)} = \frac{\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (c - x_j)}{\prod_{j=1}^n (c - x_j)}$
提示：注意 $c$ 不是 $f(x)$ 的根，所以 $f(c) \neq 0$，分式有意义。
步骤 4/5
目标：化简分式为求和形式
将分式拆开：$\frac{\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (c - x_j)}{\prod_{j=1}^n (c - x_j)} = \sum_{i=1}^n \frac{\prod_{j \neq i} (c - x_j)}{\prod_{j=1}^n (c - x_j)}$。注意到对于固定的 $i$，分子分母约去公因子 $\prod_{j \neq i} (c - x_j)$，得到 $\frac{1}{c - x_i}$。因此 $\frac{f'(c)}{f(c)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{c - x_i}$。
公式：$\frac{f'(c)}{f(c)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{c - x_i}$
提示：约分时注意分母中恰好有一个因子 $c - x_i$ 与分子不同，约分后得到 $1/(c - x_i)$。
步骤 5/5
目标：得到所需等式
由 $\frac{f'(c)}{f(c)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{c - x_i}$，两边取相反数：$\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i - c} = -\sum_{i=1}^n \frac{1}{c - x_i} = -\frac{f'(c)}{f(c)}$。证毕。
公式：$\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i - c} = -\frac{f'(c)}{f(c)}$
提示：注意 $\frac{1}{x_i - c} = -\frac{1}{c - x_i}$，符号不要搞错。
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