合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十一．（12 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，证明：$A$ 是正定矩阵的充分必要条件是存在 $n$ 阶正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：由A正定推出A可正交对角化
由于$A$是正定矩阵，则$A$是实对称矩阵且所有特征值大于0。根据实对称矩阵的正交对角化定理，存在正交矩阵$Q$使得$A = Q^T \Lambda Q$，其中$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，且$\lambda_i > 0$。
公式：A = Q^T \Lambda Q
提示：注意正交矩阵满足$Q^T = Q^{-1}$，且特征值均为正数。
步骤 2/5
目标：必要性：构造正定矩阵B
令$\Sigma = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})$，则$\Sigma$是对角元全为正数的对角矩阵，因此$\Sigma$正定。定义$B = Q^T \Sigma Q$，由于$B$与正定矩阵$\Sigma$合同，故$B$也是正定矩阵。
公式：B = Q^T \Sigma Q
提示：合同变换保持正定性，但注意$Q$是正交矩阵，所以$B$与$\Sigma$正交相似，从而正定。
步骤 3/5
目标：必要性：验证B的平方等于A
计算$B^2 = (Q^T \Sigma Q)(Q^T \Sigma Q) = Q^T \Sigma (Q Q^T) \Sigma Q = Q^T \Sigma^2 Q = Q^T \Lambda Q = A$。因此存在正定矩阵$B$使得$A = B^2$。
公式：B^2 = Q^T \Sigma^2 Q = A
提示：注意$Q Q^T = I$，因为$Q$是正交矩阵。
步骤 4/5
目标：充分性：由A=B^2推出A对称且正定
若存在正定矩阵$B$使得$A = B^2$，由于$B$是实对称矩阵（正定矩阵必对称），则$A$也是实对称矩阵。对任意非零向量$x \in \mathbb{R}^n$，有$x^T A x = x^T B^2 x = (Bx)^T (Bx) = \|Bx\|^2$。因为$B$正定，所以$B$可逆，从而$Bx \neq 0$，故$\|Bx\|^2 > 0$，即$x^T A x > 0$，所以$A$正定。
公式：x^T A x = \|Bx\|^2 > 0
提示：正定矩阵的定义要求对任意非零向量，二次型大于0。这里利用了$B$的可逆性。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，$A$是正定矩阵当且仅当存在正定矩阵$B$使得$A = B^2$。
提示：注意必要性和充分性都要证明，缺一不可。
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