合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）设 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right), n \geq 2$ ．
（1）求 $A$ 的所有特征值与特征向量．
（2）求 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵表示为秩一矩阵与单位矩阵的组合
设 $\mathbf{1} = (1,1,\dots,1)^\mathrm{T}$，则 $A = \mathbf{1}\mathbf{1}^\mathrm{T} - I$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。这是因为 $\mathbf{1}\mathbf{1}^\mathrm{T}$ 的元素全为 $1$，减去 $I$ 后对角线变为 $0$。
公式：A = \mathbf{1}\mathbf{1}^\mathrm{T} - I
提示：注意 $\mathbf{1}\mathbf{1}^\mathrm{T}$ 是 $n \times n$ 矩阵，每个元素都是 $1$。
步骤 2/7
目标：计算特征值 $n-1$ 及其特征向量
计算 $A\mathbf{1} = (\mathbf{1}\mathbf{1}^\mathrm{T} - I)\mathbf{1} = \mathbf{1}(\mathbf{1}^\mathrm{T}\mathbf{1}) - \mathbf{1} = n\mathbf{1} - \mathbf{1} = (n-1)\mathbf{1}$。因此 $\lambda_1 = n-1$ 是一个特征值，对应的特征向量为 $k\mathbf{1}$（$k \neq 0$）。
公式：A\mathbf{1} = (n-1)\mathbf{1}
提示：注意 $\mathbf{1}^\mathrm{T}\mathbf{1} = n$。
步骤 3/7
目标：计算特征值 $-1$ 及其特征向量
对于任意与 $\mathbf{1}$ 正交的非零向量 $\mathbf{x}$（即 $\mathbf{1}^\mathrm{T}\mathbf{x}=0$），有 $A\mathbf{x} = (\mathbf{1}\mathbf{1}^\mathrm{T} - I)\mathbf{x} = \mathbf{1}(\mathbf{1}^\mathrm{T}\mathbf{x}) - \mathbf{x} = -\mathbf{x}$。因此 $\lambda_2 = -1$ 是特征值，其几何重数为 $n-1$，对应的特征向量为所有满足 $\sum_{i=1}^n x_i = 0$ 的非零向量。
公式：A\mathbf{x} = -\mathbf{x} \quad (\mathbf{1}^\mathrm{T}\mathbf{x}=0)
提示：验证 $\mathbf{1}^\mathrm{T}\mathbf{x}=0$ 的条件，确保向量非零。
步骤 4/7
目标：总结特征值与特征向量
矩阵 $A$ 的特征值为：$\lambda_1 = n-1$（单重），$\lambda_2 = -1$（$n-1$ 重）。特征向量：对应于 $\lambda_1$ 的是 $\alpha_1 = (1,1,\dots,1)^\mathrm{T}$ 及其非零倍数；对应于 $\lambda_2$ 的是所有满足 $x_1+x_2+\dots+x_n=0$ 的非零向量。
提示：注意特征值的重数：$n-1$ 是单重，$-1$ 是 $n-1$ 重。
步骤 5/7
目标：构造正交矩阵 $Q$ 的第一个列向量
取 $\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{n}}(1,1,\dots,1)^\mathrm{T}$，它是单位向量，对应于特征值 $n-1$。
公式：\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{n}} \mathbf{1}
提示：确保 $\mathbf{q}_1$ 是单位向量，模长为 $1$。
步骤 6/7
目标：构造与 $\mathbf{1}$ 正交的标准正交基
取一组标准正交基 $\mathbf{q}_2,\dots,\mathbf{q}_n$，满足 $\mathbf{1}^\mathrm{T}\mathbf{q}_k = 0$ 且两两正交。例如：$\mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0,\dots,0)^\mathrm{T}$，$\mathbf{q}_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2,0,\dots,0)^\mathrm{T}$，一般地，$\mathbf{q}_k = \frac{1}{\sqrt{k(k-1)}}(1,1,\dots,1,-(k-1),0,\dots,0)^\mathrm{T}$，其中前 $k-1$ 个分量为 $1$，第 $k$ 个分量为 $-(k-1)$，其余为 $0$，$k=2,\dots,n$。
公式：\mathbf{q}_k = \frac{1}{\sqrt{k(k-1)}}(1,\dots,1,-(k-1),0,\dots,0)^\mathrm{T}
提示：验证每个 $\mathbf{q}_k$ 与 $\mathbf{1}$ 正交：前 $k-1$ 个 $1$ 加上第 $k$ 个 $-(k-1)$ 和为 $0$。
步骤 7/7
目标：写出正交矩阵 $Q$ 和对角化结果
令 $Q = (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \dots, \mathbf{q}_n)$，则 $Q$ 是正交矩阵，且 $Q^\mathrm{T} A Q = \mathrm{diag}(n-1, -1, -1, \dots, -1)$。
公式：Q^\mathrm{T} A Q = \mathrm{diag}(n-1, -1, \dots, -1)
提示：注意对角矩阵的对角元顺序与 $Q$ 的列向量顺序一致。
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