合肥工业大学 2026年高等代数第0题

设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 上的线性变换，$n$ 为奇数。考虑 $\mathscr{A}$ 的特征多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda I - \mathscr{A})$。由于 $f(\lambda)$ 是实系数多项式，且次数 $n$ 为奇数，根据实系数奇次多项式必有实根的性质，$f(\lambda)$ 至少有一个实根 $\lambda_0$。取 $\lambda_0$ 对应的特征向量 $\alpha \neq 0$，则 $\mathscr{A}\alpha = \lambda_0 \alpha$。因此，子空间 $\operatorname{span}\{\alpha\}$ 是 $\mathscr{A}$ 的1维不变子空间。

假设 $\mathscr{A}$ 没有1维不变子空间，则 $\mathscr{A}$ 没有实特征值（否则实特征值对应的特征向量生成1维不变子空间）。因此，$\mathscr{A}$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 在实数域上无实根。

由于 $f(\lambda)$ 是实系数多项式且无实根，它在实数域上可分解为一次因式和二次不可约因式的乘积，但一次因式对应实根，故 $f(\lambda)$ 只能分解为二次不可约因式的乘积。取其中一个二次不可约因式 $p(\lambda)=\lambda^2 + a\lambda + b$，其中 $a,b\in\mathbb{R}$，判别式 $\Delta = a^2 - 4b < 0$。

由哈密顿-凯莱定理，$f(\mathscr{A})=0$，而 $p(\lambda)$ 是 $f(\lambda)$ 的因式，因此 $p(\mathscr{A})$ 不是可逆变换（否则 $p(\mathscr{A})$ 可逆，则 $f(\mathscr{A})$ 可逆，矛盾）。故存在非零向量 $\alpha \in V$ 使得 $p(\mathscr{A})\alpha=0$，即 $(\mathscr{A}^2 + a\mathscr{A} + bI)\alpha=0$，整理得 $\mathscr{A}^2\alpha = -a\mathscr{A}\alpha - b\alpha$。

令 $W = \operatorname{span}\{\alpha, \mathscr{A}\alpha\}$。由于 $\alpha$ 不是特征向量（否则 $\mathscr{A}$ 有1维不变子空间），$\alpha$ 与 $\mathscr{A}\alpha$ 线性无关，故 $\dim W = 2$。验证不变性：$\mathscr{A}(\alpha) = \mathscr{A}\alpha \in W$；$\mathscr{A}(\mathscr{A}\alpha) = \mathscr{A}^2\alpha = -a\mathscr{A}\alpha - b\alpha \in W$。因此 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的2维不变子空间。