合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．（14 分）设 $A$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 2 阶方阵，记 $\displaystyle W_{A}=\left\{Y \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \mid A Y=Y A\right\}$ 。
（1）证明：$\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 的子空间．
（2）讨论 $\displaystyle W_{A}$ 的维数所有可能的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明零矩阵属于W_A
零矩阵 $0_{2\times 2}$ 满足 $A\cdot 0 = 0$ 且 $0\cdot A = 0$，因此 $A\cdot 0 = 0\cdot A$，故 $0_{2\times 2} \in W_A$。
提示：注意零矩阵与任何矩阵可交换。
步骤 2/8
目标：证明W_A对加法封闭
任取 $Y_1, Y_2 \in W_A$，则 $AY_1 = Y_1A$，$AY_2 = Y_2A$。于是 $A(Y_1+Y_2) = AY_1 + AY_2 = Y_1A + Y_2A = (Y_1+Y_2)A$，所以 $Y_1+Y_2 \in W_A$。
提示：利用矩阵乘法分配律。
步骤 3/8
目标：证明W_A对数乘封闭
任取 $Y \in W_A$ 和 $k \in \mathbb{C}$，则 $AY = YA$。于是 $A(kY) = k(AY) = k(YA) = (kY)A$，所以 $kY \in W_A$。
提示：数乘与矩阵乘法可交换顺序。
步骤 4/8
目标：总结子空间证明
由以上三点，$W_A$ 是 $\mathbb{C}^{2\times 2}$ 的子空间。
提示：子空间判定需验证三个条件：零元、加法封闭、数乘封闭。
步骤 5/8
目标：分析A为数量矩阵的情形
若 $A = \lambda I$，则对任意 $Y \in \mathbb{C}^{2\times 2}$，有 $AY = \lambda Y = Y\lambda = YA$，故 $W_A = \mathbb{C}^{2\times 2}$，维数为 $4$。
提示：数量矩阵与所有矩阵可交换。
步骤 6/8
目标：分析A为Jordan块的情形
若 $A$ 相似于 $J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$，则与 $J$ 可交换的矩阵形如 $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$，维数为 $2$。由于相似变换保持维数，故此时 $\dim W_A = 2$。
提示：Jordan块的可交换矩阵是上三角且主对角线元素相等。
步骤 7/8
目标：分析A为不同特征值对角阵的情形
若 $A$ 相似于 $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ 且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，则与 $A$ 可交换的矩阵必为对角矩阵，形如 $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$，维数为 $2$。
提示：不同特征值对应的可交换矩阵是对角矩阵。
步骤 8/8
目标：总结所有可能维数
综上，$W_A$ 的维数可能为 $2$ 或 $4$。注意，$A$ 为数量矩阵时维数为 $4$，否则维数为 $2$。
提示：不要遗漏数量矩阵情形。
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