合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（12 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{O}$ ．证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & O \\ E_{r} & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathscr{A}(V)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定维数关系
设 $\dim V = n$，$\mathscr{A}^2 = \mathscr{O}$，则 $\mathscr{A}$ 是幂零线性变换且指数为2。令 $r = \dim \mathscr{A}(V)$。由维数公式：$\dim V = \dim \ker \mathscr{A} + \dim \mathscr{A}(V)$，得 $\dim \ker \mathscr{A} = n - r$。
公式：$\dim V = \dim \ker \mathscr{A} + \dim \mathscr{A}(V)$
提示：注意维数公式适用于线性变换的像空间与核空间。
步骤 2/5
目标：选取像空间基并扩充为核空间的基
取 $\mathscr{A}(V)$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$。由于 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{O}$，有 $\mathscr{A}(\alpha_i) = 0$，故 $\alpha_i \in \ker \mathscr{A}$。将 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 扩充为 $\ker \mathscr{A}$ 的一组基：$\alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_{r+1}, \dots, \beta_{n-r}$。
提示：注意 $\mathscr{A}(V) \subseteq \ker \mathscr{A}$，所以像空间的基可扩充为核空间的基。
步骤 3/5
目标：选取原像向量
对每个 $\alpha_i$（$i=1,\dots,r$），由于 $\alpha_i \in \mathscr{A}(V)$，存在 $\gamma_i \in V$ 使得 $\mathscr{A}(\gamma_i) = \alpha_i$。
公式：$\mathscr{A}(\gamma_i) = \alpha_i$
提示：这里 $\gamma_i$ 不唯一，但只需任取一个即可。
步骤 4/5
目标：证明向量组构成基
考虑向量组 $\gamma_1, \dots, \gamma_r, \alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_{r+1}, \dots, \beta_{n-r}$，共 $r + r + (n - 2r) = n$ 个向量。设线性组合为零：
$$
\sum_{i=1}^r a_i \gamma_i + \sum_{i=1}^r b_i \alpha_i + \sum_{j=r+1}^{n-r} c_j \beta_j = 0.
$$
两边作用 $\mathscr{A}$，得 $\sum_{i=1}^r a_i \alpha_i = 0$，由 $\alpha_i$ 线性无关得 $a_i = 0$。代入原式得 $\sum_{i=1}^r b_i \alpha_i + \sum_{j=r+1}^{n-r} c_j \beta_j = 0$，由 $\alpha_i, \beta_j$ 是 $\ker \mathscr{A}$ 的基得 $b_i = 0, c_j = 0$。故向量组线性无关，构成 $V$ 的基。
提示：注意作用 $\mathscr{A}$ 后 $\alpha_i, \beta_j$ 变为零，$\gamma_i$ 变为 $\alpha_i$。
步骤 5/5
目标：写出线性变换在该基下的矩阵
在此基下，$\mathscr{A}$ 的作用为：
$$
\mathscr{A}(\gamma_i) = \alpha_i, \quad \mathscr{A}(\alpha_i) = 0, \quad \mathscr{A}(\beta_j) = 0.
$$
因此，$\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵为 $\begin{pmatrix} O & O \\ E_r & O \end{pmatrix}$，其中左上角 $r \times r$ 块对应 $\gamma_i$ 到 $\alpha_i$ 的映射，右下角 $(n-r) \times (n-r)$ 块对应 $\alpha_i, \beta_j$ 的零映射。
公式：$\mathscr{A} \begin{pmatrix} \gamma_1 & \cdots & \gamma_r & \alpha_1 & \cdots & \alpha_r & \beta_{r+1} & \cdots & \beta_{n-r} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_1 & \cdots & \gamma_r & \alpha_1 & \cdots & \alpha_r & \beta_{r+1} & \cdots & \beta_{n-r} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & O \\ E_r & O \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵分块：前 $r$ 列对应 $\gamma_i$ 的像，后 $n-r$ 列对应 $\alpha_i, \beta_j$ 的像。
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