合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 3 阶对称矩阵关于通常矩阵加法与矩阵数乘构成的线性空间，考察 $V$ 的子空间
$$
U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{k E \mid k \in P\} .
$$
其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确空间定义
设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 3 阶对称矩阵构成的线性空间，$U = \{ A \in V \mid \operatorname{tr}(A) = 0 \}$，$W = \{ kE \mid k \in P \}$，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵。
提示：注意 $U$ 是迹为零的对称矩阵，$W$ 是标量矩阵。
步骤 2/4
目标：证明 $V = U + W$
对任意 $A \in V$，令 $k = \frac{1}{3} \operatorname{tr}(A)$，则 $A - kE$ 的迹为 $\operatorname{tr}(A) - 3k = 0$，所以 $A - kE \in U$。于是 $A = (A - kE) + kE \in U + W$，故 $V = U + W$。
公式：$\operatorname{tr}(kE) = 3k$
提示：注意 $k$ 的选取要使得 $A - kE$ 的迹为零，即 $k = \frac{1}{3} \operatorname{tr}(A)$。
步骤 3/4
目标：证明 $U \cap W = \{0\}$
若 $A \in U \cap W$，则 $A = kE$ 且 $\operatorname{tr}(A) = 0$，即 $3k = 0$，所以 $k = 0$，从而 $A = 0$。因此 $U \cap W = \{0\}$。
公式：$\operatorname{tr}(kE) = 3k$
提示：注意 $U \cap W$ 中的元素必须同时满足迹为零和是标量矩阵。
步骤 4/4
目标：总结直和结论
由 $V = U + W$ 和 $U \cap W = \{0\}$ 可得 $V = U \oplus W$。
提示：直和的定义要求和空间且交为零。
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