合肥工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．（15 分）设 $A$ 是复数域上的 6 阶方阵，$A$ 的最小多项式为 $\displaystyle d(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=6$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹．
（1）求 $A$ 的特征多项式以及 Jordan 标准型．
（2）求 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的 Jordan 标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析最小多项式，确定特征值及其代数重数范围
最小多项式 $d(\lambda)=(\lambda^2-2\lambda+2)^2(\lambda-1)$。因式分解 $\lambda^2-2\lambda+2=(\lambda-(1+i))(\lambda-(1-i))$，故特征值为 $1+i$、$1-i$ 和 $1$。最小多项式中每个因子的指数给出了对应特征值的最大Jordan块大小：对于 $1+i$ 和 $1-i$，最大块大小为2；对于 $1$，最大块大小为1。设特征值 $1+i$、$1-i$、$1$ 的代数重数分别为 $a$、$b$、$c$，则 $a+b+c=6$。
公式：$d(\lambda)=(\lambda-(1+i))^2(\lambda-(1-i))^2(\lambda-1)$
提示：注意最小多项式因子指数决定最大Jordan块大小，但代数重数需结合迹条件确定。
步骤 2/7
目标：利用迹条件确定代数重数
迹 $\operatorname{tr}(A)=6$，即 $a(1+i)+b(1-i)+c\cdot1=6$。展开得 $(a+b+c)+i(a-b)=6$。由 $a+b+c=6$ 得 $i(a-b)=0$，故 $a=b$。代入 $a+b+c=6$ 得 $2a+c=6$。由于最小多项式包含 $\lambda-1$，故 $c\ge1$；且 $1+i$ 和 $1-i$ 至少各有一个2阶Jordan块，故 $a\ge2$。满足 $2a+c=6$ 且 $a\ge2$，$c\ge1$ 的解为 $a=2$，$c=2$。因此 $a=b=2$，$c=2$。
公式：$\operatorname{tr}(A)=\sum \lambda_i$
提示：注意迹是特征值之和，且特征值可能重复；复数域上迹为实数，故虚部必须抵消。
步骤 3/7
目标：写出特征多项式
特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-(1+i))^2(\lambda-(1-i))^2(\lambda-1)^2$。
公式：$f(\lambda)=\prod (\lambda-\lambda_i)^{m_i}$
提示：特征多项式次数等于方阵阶数6。
步骤 4/7
目标：确定Jordan标准型
对于特征值 $1+i$，代数重数2，最小多项式因子指数2，故只有一个2阶Jordan块 $J_2(1+i)=\begin{pmatrix}1+i & 1\\0 & 1+i\end{pmatrix}$。同理 $1-i$ 有一个2阶Jordan块 $J_2(1-i)$。特征值1的代数重数2，最小多项式因子一次，故有两个1阶Jordan块（即两个对角元1）。因此Jordan标准型为 $J=\operatorname{diag}(J_2(1+i), J_2(1-i), 1, 1)$。
公式：$J_2(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1\\0 & \lambda\end{pmatrix}$
提示：Jordan块大小由最小多项式因子指数和代数重数共同决定；若代数重数等于最小多项式指数，则只有一个Jordan块。
步骤 5/7
目标：计算行列式并写出伴随矩阵表达式
由于特征值均非零，$A$ 可逆。行列式 $\det(A)=(1+i)^2(1-i)^2\cdot1^2=((1+i)(1-i))^2=2^2=4$。伴随矩阵 $A^*=\det(A)A^{-1}=4A^{-1}$。
公式：$A^*=\det(A)A^{-1}$
提示：注意 $A$ 可逆时伴随矩阵与逆矩阵的关系。
步骤 6/7
目标：求 $A^{-1}$ 的Jordan标准型
若 $A$ 的Jordan标准型为 $J$，则 $A^{-1}$ 的Jordan标准型为 $J^{-1}$。对于Jordan块 $J_2(\lambda)$（$\lambda\neq0$），其逆的Jordan标准型为 $J_2(\lambda^{-1})$。因此 $A^{-1}$ 的Jordan标准型为 $\operatorname{diag}(J_2((1+i)^{-1}), J_2((1-i)^{-1}), 1, 1)$。计算 $(1+i)^{-1}=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}$，$(1-i)^{-1}=\frac{1+i}{2}$。
公式：$J_2(\lambda)^{-1}$ 相似于 $J_2(\lambda^{-1})$
提示：Jordan块求逆后仍为Jordan块，但特征值变为倒数。
步骤 7/7
目标：求 $A^*$ 的Jordan标准型
$A^*=4A^{-1}$，其Jordan标准型为 $4$ 乘以 $A^{-1}$ 的Jordan标准型，即每个Jordan块的特征值乘以4。故 $A^*$ 的Jordan标准型为 $\operatorname{diag}(J_2(4\cdot\frac{1-i}{2}), J_2(4\cdot\frac{1+i}{2}), 4, 4)=\operatorname{diag}(J_2(2-2i), J_2(2+2i), 4, 4)$。
公式：若 $B$ 相似于 $\operatorname{diag}(J_2(\lambda),\cdots)$，则 $kB$ 相似于 $\operatorname{diag}(J_2(k\lambda),\cdots)$
提示：数乘Jordan块时，特征值乘以该数，但Jordan块结构不变。
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