哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
2．求一个可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并检查相似性条件
题目要求求可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$，即 $A$ 与 $B$ 相似。相似矩阵的必要条件是它们有相同的特征多项式。因此，首先计算 $A$ 和 $B$ 的特征多项式。
提示：注意：相似矩阵的特征多项式相同，但反之不成立。这里先验证必要条件。
步骤 2/6
目标：计算矩阵 A 的特征多项式
对于 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 \\ -3 & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-4) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - 5\lambda - 2$
提示：计算行列式时注意符号：$\det(\lambda I - A)$ 的对角线元素是 $\lambda - a_{ii}$。
步骤 3/6
目标：计算矩阵 B 的特征多项式
对于 $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda-5 & -6 \\ -7 & \lambda-8 \end{vmatrix} = (\lambda-5)(\lambda-8) - 42 = \lambda^2 - 13\lambda - 2$。
公式：$\det(\lambda I - B) = \lambda^2 - 13\lambda - 2$
提示：注意计算乘积时不要遗漏负号。
步骤 4/6
目标：比较特征多项式
比较 $A$ 和 $B$ 的特征多项式：$\lambda^2 - 5\lambda - 2$ 与 $\lambda^2 - 13\lambda - 2$。显然，一次项系数不同（$-5 \neq -13$），因此特征多项式不相等。
提示：特征多项式相等要求所有对应系数相等，这里一次项系数不同，故不相等。
步骤 5/6
目标：得出结论
由于 $A$ 和 $B$ 的特征多项式不同，它们不满足相似的必要条件，因此不存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$。
提示：注意：特征多项式相同是相似的必要条件而非充分条件，但这里连必要条件都不满足，故直接判定不相似。
步骤 6/6
目标：最终答案
不存在这样的可逆矩阵 $P$。
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