📝 哈尔滨工业大学 2009年高等代数真题

2．求一个可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=B$ ．

1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $A^{n}=0$ ；

2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．

1．$S, T$ 都是 $M_{n}$ 的线性子空间；

2．$M_{n}=S \oplus T$ ．

五．设向量组（I）：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，并且可由向量组（II）：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表出．那么，$\displaystyle r \leqslant s$并且可以适当地排列组（II）中向量的次序，使得组（I）替换组（II）的前 $r$ 个向量后所得到的向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta_{r+1}, \beta_{r+2}, \cdots, \beta_{s}$ 与组（II）等价．

八．令 $\displaystyle M_{n}$ 表示数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的一切 $n$ 阶方阵所组成的线性空间，设

$$
S=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{\prime}\right\}, T=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{\prime}\right\}
$$

证明：
1．$\displaystyle S, T$ 都是 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间；
2．$\displaystyle M_{n}=S \oplus T$ ．

六．设

$$
X=\left(\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right),
$$

其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵．$\displaystyle B^{\prime}=C$ ，证明：存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{\prime} X T$ 为分块对角阵。

十．设 $\displaystyle A, B, C \in P^{n \times n}$ ，试证：

$$
\mathrm{r}(A B C) \geqslant \mathrm{r}(A B)+\mathrm{r}(B C)-\mathrm{r}(B)
$$

四．称矩阵 $A$ 为幂零矩阵，如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ，试证：
1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $\displaystyle A^{n}=0$ ；
2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $\displaystyle k, A+k E_{n}$ 都可逆．