哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
六．设
$$
X=\left(\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right),
$$
其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵．$\displaystyle B^{\prime}=C$ ，证明：存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{\prime} X T$ 为分块对角阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件
已知 $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，其中 $A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶矩阵，$A$ 是可逆对称矩阵，且 $B' = C$。目标是证明存在可逆矩阵 $T$ 使得 $T' X T$ 为分块对角阵。
提示：注意 $A$ 对称且可逆，$B'=C$ 是转置关系。
步骤 2/6
目标：构造可逆矩阵 T
取 $T = \begin{pmatrix} I_n & -A^{-1}B \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。由于 $A$ 可逆，$A^{-1}$ 存在，且 $T$ 是分块上三角矩阵，主对角块为单位阵，故 $T$ 可逆。
公式：$T = \begin{pmatrix} I_n & -A^{-1}B \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$
提示：确保 $A$ 可逆，否则 $A^{-1}$ 不存在。
步骤 3/6
目标：计算 T'
计算 $T$ 的转置：$T' = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -B' A^{-1} & I_n \end{pmatrix}$。利用条件 $B' = C$，得 $T' = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -C A^{-1} & I_n \end{pmatrix}$。
公式：$T' = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -C A^{-1} & I_n \end{pmatrix}$
提示：转置时注意分块矩阵的转置规则：$\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} P' & R' \\ Q' & S' \end{pmatrix}$。
步骤 4/6
目标：计算 XT
先计算 $X T = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & -A^{-1}B \\ 0 & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cdot I_n + B \cdot 0 & A(-A^{-1}B) + B \cdot I_n \\ C \cdot I_n + D \cdot 0 & C(-A^{-1}B) + D \cdot I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & -B + B \\ C & -C A^{-1}B + D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D - C A^{-1}B \end{pmatrix}$。
公式：$X T = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D - C A^{-1}B \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法顺序，$A(-A^{-1}B) = -AA^{-1}B = -B$。
步骤 5/6
目标：计算 T' X T
再左乘 $T'$：$T' (X T) = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -C A^{-1} & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D - C A^{-1}B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n \cdot A + 0 \cdot C & I_n \cdot 0 + 0 \cdot (D - C A^{-1}B) \\ -C A^{-1} \cdot A + I_n \cdot C & -C A^{-1} \cdot 0 + I_n \cdot (D - C A^{-1}B) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ -C + C & D - C A^{-1}B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D - C A^{-1}B \end{pmatrix}$。
公式：$T' X T = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D - C A^{-1}B \end{pmatrix}$
提示：注意 $-C A^{-1} \cdot A = -C$，与 $I_n \cdot C = C$ 抵消。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$T' X T$ 是分块对角矩阵，且 $T$ 可逆。故存在可逆矩阵 $T$ 使得 $T' X T$ 为分块对角阵。
提示：验证 $T$ 可逆：$\det(T)=1$，因为分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式之积。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。