哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
五．设向量组（I）：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，并且可由向量组（II）：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表出．那么，$\displaystyle r \leqslant s$并且可以适当地排列组（II）中向量的次序，使得组（I）替换组（II）的前 $r$ 个向量后所得到的向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta_{r+1}, \beta_{r+2}, \cdots, \beta_{s}$ 与组（II）等价．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明 r ≤ s
假设 $r > s$。由于向量组 (I) 可由 (II) 线性表出，存在 $r \times s$ 矩阵 $A$ 使得 $(\alpha_1,\ldots,\alpha_r) = (\beta_1,\ldots,\beta_s)A$。考虑齐次线性方程组 $A x = 0$，其中 $x \in \mathbb{R}^r$。因为 $r > s$，方程个数小于未知数个数，故存在非零解 $x_0$。于是 $\sum_{i=1}^r x_{0i}\alpha_i = (\beta_1,\ldots,\beta_s)A x_0 = 0$，这与 (I) 线性无关矛盾。因此 $r \leq s$。
公式：$(\alpha_1,\ldots,\alpha_r) = (\beta_1,\ldots,\beta_s)A$
提示：注意齐次线性方程组有非零解的条件是方程个数小于未知数个数，这里方程个数为s，未知数个数为r。
步骤 2/8
目标：归纳法基础：k=0时成立
当 $k=0$ 时，向量组 (II) 本身与自身等价，结论显然成立。
提示：归纳基础要明确。
步骤 3/8
目标：归纳假设：对k-1成立
假设存在一种排列，使得向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1}, \beta_k, \ldots, \beta_s$ 与 (II) 等价。
提示：注意排列后的向量组顺序。
步骤 4/8
目标：利用线性表出表示α_k
由于 (I) 可由 (II) 线性表出，且 (II) 与替换后的向量组等价，故 $\alpha_k$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1}, \beta_k, \ldots, \beta_s$ 线性表出：$\alpha_k = \sum_{i=1}^{k-1} c_i \alpha_i + \sum_{j=k}^s d_j \beta_j$。
公式：$\alpha_k = \sum_{i=1}^{k-1} c_i \alpha_i + \sum_{j=k}^s d_j \beta_j$
提示：注意系数d_j可能为零。
步骤 5/8
目标：存在非零系数d_j
由于 $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ 线性无关，$\alpha_k$ 不能由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1}$ 线性表出，因此存在某个 $j \geq k$ 使得 $d_j \neq 0$。不妨设 $d_k \neq 0$（否则可通过交换 $\beta_k$ 与某个 $\beta_j$ 实现）。
提示：交换次序是证明的关键，要确保d_k ≠ 0。
步骤 6/8
目标：用α_k等表示β_k
由 $d_k \neq 0$，可得 $\beta_k = \frac{1}{d_k} \left( \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} c_i \alpha_i - \sum_{j=k+1}^s d_j \beta_j \right)$。因此 $\beta_k$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_k, \beta_{k+1},\ldots,\beta_s$ 线性表出。
公式：$\beta_k = \frac{1}{d_k} \left( \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} c_i \alpha_i - \sum_{j=k+1}^s d_j \beta_j \right)$
提示：注意分母d_k不为零。
步骤 7/8
目标：证明替换后向量组等价
由于 $\alpha_1,\ldots,\alpha_k, \beta_{k+1},\ldots,\beta_s$ 中的每个向量显然可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1}, \beta_k, \ldots, \beta_s$ 线性表出（因为 $\alpha_k$ 已由后者表出，且 $\beta_{k+1},\ldots,\beta_s$ 包含在内），反之，后者中的每个向量也可由前者线性表出（因为 $\beta_k$ 已由前者表出，且 $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1}$ 包含在内）。因此两向量组等价，从而与 (II) 等价。由归纳法，对 $k=r$ 成立。
提示：注意等价关系需要双向表出。
步骤 8/8
目标：结论
因此，$r \leq s$ 且存在适当排列，使得 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r, \beta_{r+1},\ldots,\beta_s$ 与 (II) 等价。
提示：最终结论要明确。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。