哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $A^{n}=0$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义幂零矩阵和幂零指数
设 $A$ 是 $n$ 阶复幂零矩阵，则存在正整数 $k$ 使得 $A^k = 0$。定义 $m$ 为满足 $A^m = 0$ 的最小正整数，称为 $A$ 的幂零指数。我们需要证明 $m \leq n$，从而 $A^n = 0$。
提示：注意幂零指数是使矩阵幂为零的最小正整数，不是任意一个幂次。
步骤 2/6
目标：考虑Jordan标准形
由于 $A$ 是复矩阵，可化为Jordan标准形。又因为 $A$ 幂零，所有特征值均为 $0$，故其Jordan标准形由若干个以 $0$ 为特征值的Jordan块组成。每个Jordan块 $J(0, r)$ 是 $r \times r$ 矩阵，形如：
$$J(0, r) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：Jordan块的对角线全为0，次对角线全为1。
步骤 3/6
目标：分析Jordan块的幂零指数
对于 $r \times r$ 的Jordan块 $J(0, r)$，计算其幂次：$J(0, r)^r = 0$，但 $J(0, r)^{r-1} \neq 0$。因此，该Jordan块的幂零指数为 $r$。
公式：$J(0, r)^r = 0$，$J(0, r)^{r-1} \neq 0$
提示：Jordan块的幂零指数等于其阶数。
步骤 4/6
目标：确定整个矩阵的幂零指数
设 $A$ 的Jordan标准形中最大Jordan块的阶数为 $d$。由于整个矩阵的幂零指数等于所有Jordan块中最大的幂零指数，即 $m = d$。这是因为若最大Jordan块在 $d$ 次幂时为零，则所有更小的Jordan块也已在 $d$ 次幂时为零。
公式：$m = d$
提示：注意幂零指数由最大Jordan块决定，而不是所有块的和。
步骤 5/6
目标：利用阶数关系证明不等式
因为 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，其Jordan标准形中所有Jordan块的阶数之和等于 $n$。设最大Jordan块的阶数为 $d$，则 $d \leq n$（因为 $d$ 是其中一个块的阶数，而所有块阶数之和为 $n$）。于是 $m = d \leq n$。
公式：$d \leq n$
提示：最大Jordan块的阶数不超过总阶数。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $m \leq n$ 可知 $A^n = 0$，因为 $A^m = 0$ 且 $n \geq m$，所以 $A^n = A^{m} \cdot A^{n-m} = 0$。因此，$n$ 阶复幂零矩阵的 $n$ 次幂为零矩阵。
公式：$A^n = 0$
提示：注意：$A^n = 0$ 是结论，但幂零指数可能小于 $n$。
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