哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
2．$M_{n}=S \oplus T$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确空间定义
设 $M_n$ 为所有 $n$ 阶实方阵构成的线性空间，$S$ 为对称矩阵子空间（即 $A^T = A$），$T$ 为反对称矩阵子空间（即 $A^T = -A$）。需要证明 $M_n = S \oplus T$，即直和分解。
提示：注意对称和反对称矩阵的定义，以及它们都是子空间。
步骤 2/5
目标：证明 $S \cap T = \{0\}$
取任意 $A \in S \cap T$，则同时有 $A^T = A$ 和 $A^T = -A$，因此 $A = -A$，即 $2A = 0$，所以 $A = 0$。故交只有零矩阵。
公式：若 $A \in S \cap T$，则 $A = -A$
提示：注意零矩阵既是对称也是反对称的，但其他矩阵不能同时满足两个条件。
步骤 3/5
目标：构造分解：任意矩阵拆分为对称和反对称部分
对任意 $A \in M_n$，定义 $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$C = \frac{1}{2}(A - A^T)$。则 $B^T = \frac{1}{2}(A^T + A) = B$，故 $B \in S$；$C^T = \frac{1}{2}(A^T - A) = -C$，故 $C \in T$。且 $A = B + C$。
公式：$B = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$C = \frac{1}{2}(A - A^T)$
提示：注意系数 $\frac{1}{2}$ 不能遗漏，否则 $B$ 和 $C$ 可能不满足对称性。
步骤 4/5
目标：验证分解的唯一性（直和条件）
假设 $A = B_1 + C_1 = B_2 + C_2$，其中 $B_i \in S$，$C_i \in T$。则 $B_1 - B_2 = C_2 - C_1$。左边对称，右边反对称，因此两边均为零，故 $B_1 = B_2$，$C_1 = C_2$。唯一性得证。
提示：唯一性依赖于 $S \cap T = \{0\}$，实际上已由步骤2保证。
步骤 5/5
目标：总结直和结论
由 $S \cap T = \{0\}$ 和 $M_n = S + T$（步骤3已证），根据直和定义，$M_n = S \oplus T$。
提示：直和需要满足和空间与交为零两个条件。
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