哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
四．称矩阵 $A$ 为幂零矩阵，如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ，试证：
1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $\displaystyle A^{n}=0$ ；
2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $\displaystyle k, A+k E_{n}$ 都可逆．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解幂零矩阵的定义
幂零矩阵 $A$ 满足存在正整数 $m$ 使得 $A^m = 0$。本题中 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵。
公式：$A^m = 0$
提示：注意 $m$ 不一定等于 $n$，需要证明 $A^n = 0$。
步骤 2/5
目标：分析幂零矩阵的特征值
由于 $A^m = 0$，$A$ 的特征多项式为 $\lambda^n$，因此 $A$ 的所有特征值都是 $0$。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A) = \lambda^n$
提示：特征值全为零是幂零矩阵的关键性质。
步骤 3/5
目标：利用Jordan标准形证明 $A^n = 0$
因为特征值全为 $0$，$A$ 的 Jordan 标准形由若干个以 $0$ 为特征值的 Jordan 块组成。每个 $r$ 阶 Jordan 块 $J(0, r)$ 满足 $J(0, r)^r = 0$ 且 $J(0, r)^{r-1} \neq 0$。所有 Jordan 块的阶数之和为 $n$，因此每个 Jordan 块的阶数 $r \leq n$。从而 $A^n = 0$。
公式：$J(0, r)^r = 0$
提示：注意 Jordan 块阶数不超过 $n$，但 $A^n = 0$ 是因为每个块被 $n$ 次幂零化。
步骤 4/5
目标：证明 $A + kE_n$ 可逆
由于 $A$ 的特征值全为 $0$，$A + kE_n$ 的特征值全为 $k$（非零）。因此 $\det(A + kE_n) = k^n \neq 0$，故 $A + kE_n$ 可逆。
公式：$\det(A + kE_n) = k^n$
提示：注意 $k$ 是非零常数，否则特征值为零导致不可逆。
步骤 5/5
目标：总结结论
对于 $n$ 阶复幂零矩阵 $A$，有 $A^n = 0$，且对任意非零常数 $k$，$A + kE_n$ 可逆。
提示：结论成立依赖于复数域，因为 Jordan 标准形在复数域上存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。