哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确幂零矩阵的定义
由于 $A$ 是 $n$ 阶复幂零矩阵，根据定义，存在正整数 $m$ 使得 $A^m = 0$。这意味着 $A$ 的所有特征值均为 $0$。
公式：A^m = 0
提示：注意幂零指数 $m$ 不一定等于 $n$，但 $m \leq n$。
步骤 2/5
目标：假设 $A + kE_n$ 不可逆
采用反证法。假设 $A + kE_n$ 不可逆，则存在非零向量 $x \in \mathbb{C}^n$ 使得 $(A + kE_n)x = 0$。
公式：(A + kE_n)x = 0
提示：不可逆等价于存在非零解，即 $0$ 是特征值。
步骤 3/5
目标：推导特征值关系
由 $(A + kE_n)x = 0$ 可得 $Ax = -k x$。因此 $x$ 是 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $-k$。
公式：Ax = -k x
提示：注意 $k$ 是非零常数，所以 $-k \neq 0$。
步骤 4/5
目标：利用幂零矩阵特征值性质
幂零矩阵 $A$ 的所有特征值均为 $0$。但 $-k \neq 0$，这与 $A$ 的特征值全为 $0$ 矛盾。
提示：幂零矩阵的特征值全为零是重要性质，可通过 $A^m=0$ 和特征多项式证明。
步骤 5/5
目标：得出矛盾，完成证明
因此假设不成立，$A + kE_n$ 可逆。对任意非零常数 $k$，结论成立。
提示：反证法结束，注意结论的普遍性。
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