哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
八．令 $\displaystyle M_{n}$ 表示数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的一切 $n$ 阶方阵所组成的线性空间，设
$$
S=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{\prime}\right\}, T=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{\prime}\right\}
$$
证明：
1．$\displaystyle S, T$ 都是 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间；
2．$\displaystyle M_{n}=S \oplus T$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证S是子空间：封闭性
首先，零矩阵$0$满足$0'=0$，故$0\in S$。其次，对任意$A,B\in S$，有$(A+B)'=A'+B'=A+B$，故$A+B\in S$。最后，对任意$A\in S$和$k\in\mathbb{F}$，有$(kA)'=kA'=kA$，故$kA\in S$。因此$S$是$M_n$的子空间。
提示：注意验证子空间需检查零元、加法封闭和数乘封闭三个条件。
步骤 2/5
目标：验证T是子空间：封闭性
首先，零矩阵$0$满足$0'=-0$，故$0\in T$。其次，对任意$A,B\in T$，有$(A+B)'=A'+B'=-A-B=-(A+B)$，故$A+B\in T$。最后，对任意$A\in T$和$k\in\mathbb{F}$，有$(kA)'=kA'=k(-A)=-kA$，故$kA\in T$。因此$T$是$M_n$的子空间。
提示：注意转置运算的线性性质。
步骤 3/5
目标：证明M_n = S + T：构造分解
对任意$A\in M_n$，定义$B=\frac{1}{2}(A+A')$，$C=\frac{1}{2}(A-A')$。则$B'=\frac{1}{2}(A'+A)=B$，故$B\in S$；$C'=\frac{1}{2}(A'-A)=-C$，故$C\in T$。且$A=B+C$，所以$M_n\subseteq S+T$，显然$S+T\subseteq M_n$，故$M_n=S+T$。
公式：$B=\frac{1}{2}(A+A')$, $C=\frac{1}{2}(A-A')$
提示：注意系数$\frac{1}{2}$在特征为2的域中无效，但题目中数域$\mathbb{F}$通常指特征0，如实数域。
步骤 4/5
目标：证明S∩T={0}：唯一性
若$A\in S\cap T$，则$A'=A$且$A'=-A$，故$A=-A$，即$2A=0$，所以$A=0$。因此$S\cap T=\{0\}$。
提示：注意$2A=0$在特征2的域中不能推出$A=0$，但通常数域特征为0。
步骤 5/5
目标：结论：直和分解
由$M_n=S+T$和$S\cap T=\{0\}$，根据直和的定义，$M_n=S\oplus T$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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