哈尔滨工业大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
十．设 $\displaystyle A, B, C \in P^{n \times n}$ ，试证：
$$
\mathrm{r}(A B C) \geqslant \mathrm{r}(A B)+\mathrm{r}(B C)-\mathrm{r}(B)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用矩阵的等价标准形化简B
设 $B$ 的秩为 $r$，则存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得 $B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。
公式：B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，且 $r(B)=r$。
步骤 2/8
目标：对A和C进行相似变换
令 $A' = P^{-1} A P$，$C' = Q C Q^{-1}$，则 $A'$ 和 $C'$ 与 $A$、$C$ 秩相同。将 $A'$ 和 $C'$ 分块为 $A' = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，$C' = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{pmatrix}$，其中 $A_{11}, C_{11} \in P^{r \times r}$。
提示：分块时注意块的大小与 $r$ 一致。
步骤 3/8
目标：计算AB、BC和ABC的表达式
计算得：
$AB = P \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，
$BC = P \begin{pmatrix} C_{11} & 0 \\ C_{21} & 0 \end{pmatrix} Q$，
$ABC = P \begin{pmatrix} A_{11}C_{11} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。
提示：注意矩阵乘法时，$P$ 和 $Q$ 的位置，以及分块乘法的规则。
步骤 4/8
目标：用分块矩阵表示秩
由于 $P, Q$ 可逆，秩不变，故
$r(AB) = r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \end{pmatrix}$，
$r(BC) = r\begin{pmatrix} C_{11} & 0 \\ C_{21} & 0 \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} C_{11} \\ C_{21} \end{pmatrix}$，
$r(ABC) = r(A_{11}C_{11})$。
提示：注意行秩等于列秩，且去掉零行或零列不影响秩。
步骤 5/8
目标：应用Sylvester秩不等式
对 $A_{11}$ 和 $C_{11}$ 应用 Sylvester 秩不等式：$r(A_{11}C_{11}) \geq r(A_{11}) + r(C_{11}) - r$。
公式：r(A_{11}C_{11}) \geq r(A_{11}) + r(C_{11}) - r
提示：Sylvester不等式要求矩阵可乘，这里 $A_{11}$ 和 $C_{11}$ 都是 $r \times r$ 矩阵。
步骤 6/8
目标：估计r(A_{11})和r(C_{11})的下界
注意到 $r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \end{pmatrix} \leq r(A_{11}) + r(A_{12})$，但更精确地，有 $r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \end{pmatrix} \leq r(A_{11}) + r$，实际上我们需要下界：$r(A_{11}) \geq r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \end{pmatrix} - (r - r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \end{pmatrix})$？更简单的方法是利用 Frobenius 不等式直接得到结论。实际上，由 $r(AB) = r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \end{pmatrix}$ 和 $r(BC) = r\begin{pmatrix} C_{11} \\ C_{21} \end{pmatrix}$，以及 $r(A_{11}) \geq r(AB) - r$ 和 $r(C_{11}) \geq r(BC) - r$ 并不成立。正确做法：直接使用 Frobenius 不等式。
提示：这里容易错误估计下界，应直接使用 Frobenius 不等式。
步骤 7/8
目标：直接应用Frobenius秩不等式
Frobenius 秩不等式：对于任意矩阵 $X, Y, Z$，有 $r(XYZ) + r(Y) \geq r(XY) + r(YZ)$。令 $X = A$, $Y = B$, $Z = C$，即得 $r(ABC) + r(B) \geq r(AB) + r(BC)$，移项即得 $r(ABC) \geq r(AB) + r(BC) - r(B)$。
公式：r(ABC) + r(B) \geq r(AB) + r(BC)
提示：Frobenius不等式是Sylvester不等式的推广，可直接使用。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此，原不等式成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。