哈尔滨工业大学 2011年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $\displaystyle n(>1)$ 阶复矩阵 $A$ 的所有特征值均为 $\displaystyle 0, r(A)=n-1$ 。证明：不存在矩阵 $B$使 $\displaystyle B^{2}=A$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析A的特征值和秩
已知 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵，所有特征值为 $0$，且秩 $r(A)=n-1$。由于特征值全为 $0$，$A$ 是幂零矩阵。秩为 $n-1$ 说明 $A$ 的零度（即几何重数）为 $1$，因此 $A$ 的 Jordan 标准形中只有一个 Jordan 块，即 $A$ 相似于 $J_n(0)$，其中 $J_n(0)$ 是 $n$ 阶 Jordan 块，主对角线元素为 $0$，次对角线为 $1$。
公式：A \sim J_n(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}
提示：注意：所有特征值为0且秩为n-1的矩阵的Jordan标准形只有一个Jordan块，这是关键。
步骤 2/6
目标：假设存在B并分析其特征值
假设存在矩阵 $B$ 使得 $B^2 = A$。由于 $A$ 的特征值全为 $0$，$B$ 的特征值也全为 $0$（因为若 $\lambda$ 是 $B$ 的特征值，则 $\lambda^2$ 是 $A$ 的特征值，而 $A$ 的特征值只有 $0$，故 $\lambda=0$）。因此 $B$ 也是幂零矩阵。
公式：B^2 = A \Rightarrow \sigma(B) = \{0\}
提示：注意：特征值的平方关系，但要注意重数。
步骤 3/6
目标：写出B的Jordan标准形
设 $B$ 的 Jordan 标准形为 $J = J_{k_1}(0) \oplus J_{k_2}(0) \oplus \cdots \oplus J_{k_r}(0)$，其中 $k_1 + k_2 + \cdots + k_r = n$，每个 $J_{k_i}(0)$ 是 $k_i$ 阶 Jordan 块。则 $B$ 相似于 $J$，且 $B^2$ 相似于 $J^2$。
公式：B \sim \bigoplus_{i=1}^r J_{k_i}(0)
提示：注意：Jordan块的和是直和，各块阶数之和为n。
步骤 4/6
目标：计算Jordan块平方的秩
考虑单个 Jordan 块 $J_m(0)$ 的平方。当 $m=1$ 时，$J_1(0)=0$，其平方为 $0$，秩为 $0$。当 $m=2$ 时，$J_2(0)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为 $0$。当 $m \ge 3$ 时，$J_m(0)^2$ 的秩为 $m-2$。具体地，$J_m(0)^2$ 的矩阵形式为：第 $i$ 行第 $i+2$ 列为 $1$（若 $i+2 \le m$），其余为 $0$，因此秩为 $m-2$。
公式：r(J_m(0)^2) = \max(0, m-2)
提示：注意：m=1或2时秩为0，m≥3时秩为m-2。
步骤 5/6
目标：计算B^2的秩的上界
由于 $B^2$ 相似于各 $J_{k_i}(0)^2$ 的直和，其秩等于各块秩之和。因此 $r(B^2) = \sum_{i=1}^r r(J_{k_i}(0)^2) = \sum_{i: k_i \ge 3} (k_i - 2)$。由于所有 $k_i$ 之和为 $n$，且至少有一个 $k_i \ge 2$（否则 $B=0$，$B^2=0$ 秩为 $0$），但 $r(A)=n-1$ 要求 $B^2$ 的秩为 $n-1$。然而，每个 $k_i \ge 3$ 的块贡献 $k_i-2$，而 $k_i=1$ 或 $2$ 的块贡献 $0$。因此 $r(B^2) \le \sum_{i: k_i \ge 3} (k_i - 2) \le (\sum_{i} k_i) - 2 = n-2$，因为至少有一个 $k_i \ge 2$ 使得减去至少 $2$（若所有 $k_i \le 2$，则 $r(B^2)=0$）。所以 $r(B^2) \le n-2$。
公式：r(B^2) \le n-2
提示：注意：当所有块阶数≤2时，秩为0；当有块阶数≥3时，秩最多为n-2。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
已知 $A$ 的秩为 $n-1$，而 $B^2 = A$，故 $r(B^2) = n-1$。但上一步已证明 $r(B^2) \le n-2$，矛盾。因此假设不成立，不存在矩阵 $B$ 使得 $B^2 = A$。
公式：n-1 = r(A) = r(B^2) \le n-2 \Rightarrow \text{矛盾}
提示：注意：矛盾点在于秩的不等式。
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