📝 哈尔滨工业大学 2011年高等代数真题
第1题
1．已知复系数非零多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式．证明
$$
\left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x) f^{\prime}(x)\right)=1
$$
$$
\left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x) f^{\prime}(x)\right)=1
$$
第2题
2．已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上的 $n$ 维线性空间中线性无关的向量组
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+\alpha_{m}, \beta_{m}=\alpha_{m}+\alpha_{1}
$$
的线性相关性。
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+\alpha_{m}, \beta_{m}=\alpha_{m}+\alpha_{1}
$$
的线性相关性。
第3题
3．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & a+1 & a & a+1 \\ 1 & a & 0 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)$ 。已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有三个线性无关的解向量，求 $a$ 及 $\displaystyle A x=\beta$ 的通解。
第4题
4．设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left|\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1}\end{array}\right|, \sigma_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}, \sigma_{2}=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}, \sigma_{3}=x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 。
（1）将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 表成 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ 的多项式；
（2）当 $\displaystyle a, b, c$ 是方程 $\displaystyle x^{3}+p x+q=0$ 的三个根时，求 $\displaystyle f(a, b, c)$ 。
（1）将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 表成 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ 的多项式；
（2）当 $\displaystyle a, b, c$ 是方程 $\displaystyle x^{3}+p x+q=0$ 的三个根时，求 $\displaystyle f(a, b, c)$ 。
第5题
5．设 $\displaystyle A \in P^{\text {mom }}$ 。证明：
（1）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in P^{m \times m}$ 使得 $\displaystyle A=P\binom{E_{n}}{0}$ ；
（2）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵 $\displaystyle B \in P^{n \times m}$ 使得 $\displaystyle B A=E_{n}$ 。
（1）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in P^{m \times m}$ 使得 $\displaystyle A=P\binom{E_{n}}{0}$ ；
（2）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵 $\displaystyle B \in P^{n \times m}$ 使得 $\displaystyle B A=E_{n}$ 。
第6题
6．证明：对会定的自然数 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 然系数多项式的体合
$$
V=\{f(x) \in R[x] \mid f(1)=0, \partial f(x)<n\}
$$
关于多项式的加法和数与多项式相乘构成实数域 $R$ 上的线性空间，并冰出 $V$ 的一组基。
$$
V=\{f(x) \in R[x] \mid f(1)=0, \partial f(x)<n\}
$$
关于多项式的加法和数与多项式相乘构成实数域 $R$ 上的线性空间，并冰出 $V$ 的一组基。
第7题
7．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶实对称矩阵。证明 $A$ 与 $B$ 合同的充要条件是：$A$ 的正特征值的个数等于 $B$ 的正特征值的个数，$A$ 的负特征值的个数等于 $B$ 的负特征值的个数。
第8题
8．设 $\displaystyle V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}$ ，其中 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $V$ 的一个变族 $\displaystyle \varphi: \varphi(X)=A X, \forall X \in V$ 。
（1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量：
（3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？
（1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量：
（3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？
第9题
9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{m}$ 为欧几里得空间 $V$ 的两组向量。始果 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ， $\displaystyle i, j=1, \cdots, m$ 。证明：
（1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构：
（2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。
（1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构：
（2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。
第10题
10．设 $\displaystyle n(>1)$ 阶复矩阵 $A$ 的所有特征值均为 $\displaystyle 0, r(A)=n-1$ 。证明：不存在矩阵 $B$使 $\displaystyle B^{2}=A$ 。