哈尔滨工业大学 2011年高等代数第9题

设 $V_1 = L(\alpha_1,\dots,\alpha_m)$，$V_2 = L(\beta_1,\dots,\beta_m)$。定义线性映射 $\varphi: V_1 \to V_2$ 使得 $\varphi(\alpha_i) = \beta_i$，$i=1,\dots,m$，并线性扩张。需验证 $\varphi$ 是良定义的。设 $\sum_{i=1}^m c_i \alpha_i = 0$，则对任意 $j$，有 $\left(\sum_{i=1}^m c_i \alpha_i, \alpha_j\right) = \sum_{i=1}^m c_i (\alpha_i,\alpha_j) = 0$。由条件 $(\alpha_i,\alpha_j) = (\beta_i,\beta_j)$，得 $\sum_{i=1}^m c_i (\beta_i,\beta_j) = 0$，即 $\left(\sum_{i=1}^m c_i \beta_i, \beta_j\right) = 0$ 对所有 $j$ 成立。于是 $\left(\sum_{i=1}^m c_i \beta_i, \sum_{i=1}^m c_i \beta_i\right) = \sum_{j=1}^m c_j \left(\sum_{i=1}^m c_i \beta_i, \beta_j\right) = 0$，故 $\sum_{i=1}^m c_i \beta_i = 0$。因此 $\varphi$ 是良定义的线性映射，且为满射。

对任意 $x = \sum_i a_i \alpha_i$，$y = \sum_j b_j \alpha_j \in V_1$，有 $$ (\varphi(x), \varphi(y)) = \left(\sum_i a_i \beta_i, \sum_j b_j \beta_j\right) = \sum_{i,j} a_i b_j (\beta_i,\beta_j) = \sum_{i,j} a_i b_j (\alpha_i,\alpha_j) = (x,y). $$ 故 $\varphi$ 是保内积的线性同构，从而 $V_1$ 与 $V_2$ 作为欧几里得空间同构。

设 $G = ((\alpha_i,\alpha_j))$ 为Gram矩阵。若 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性无关，则对任意非零向量 $x = (c_1,\dots,c_m)^T \in \mathbb{R}^m$，有 $\sum_{i=1}^m c_i \alpha_i \neq 0$，于是 $$ x^T G x = \sum_{i,j} c_i c_j (\alpha_i,\alpha_j) = \left(\sum_i c_i \alpha_i, \sum_j c_j \alpha_j\right) > 0, $$ 故 $G$ 正定。

若 $G$ 正定，则对任意非零 $x \in \mathbb{R}^m$，有 $x^T G x > 0$。假设 $\sum_i c_i \alpha_i = 0$，则 $x^T G x = 0$，从而 $x=0$，故 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性无关。