哈尔滨工业大学 2011年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}$ ，其中 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $V$ 的一个变族 $\displaystyle \varphi: \varphi(X)=A X, \forall X \in V$ 。
（1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量：
（3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证线性变换的两个条件
设 $X_1, X_2 \in V$，$k \in P$，则
\[
\varphi(X_1 + X_2) = A(X_1 + X_2) = A X_1 + A X_2 = \varphi(X_1) + \varphi(X_2),
\]
\[
\varphi(k X_1) = A(k X_1) = k (A X_1) = k \varphi(X_1).
\]
因此 $\varphi$ 是线性变换。
公式：线性变换定义：$\varphi(X+Y)=\varphi(X)+\varphi(Y)$，$\varphi(kX)=k\varphi(X)$
提示：注意矩阵乘法满足分配律和数乘结合律。
步骤 2/7
目标：选取V的一组基
取 $V$ 的一组基：
\[
E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]
提示：V中矩阵是上三角矩阵，基的选择要能线性表示所有元素。
步骤 3/7
目标：计算φ在基下的矩阵
计算每个基向量的像：
\[
\varphi(E_{11}) = A E_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0,
\]
\[
\varphi(E_{12}) = A E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0,
\]
\[
\varphi(E_{22}) = A E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E_{12} + E_{22}.
\]
所以 $\varphi$ 在基 $\{E_{11}, E_{12}, E_{22}\}$ 下的矩阵为
\[
M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]
公式：矩阵乘法：$A E_{ij}$ 结果按列表示
提示：注意像用基表示时，系数作为矩阵的列。
步骤 4/7
目标：求特征多项式
特征多项式为
\[
\det(\lambda I - M) = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = \lambda^2 (\lambda-1).
\]
特征值为 $\lambda_1 = 0$（代数重数2），$\lambda_2 = 1$（代数重数1）。
公式：$\det(\lambda I - M)=0$
提示：计算行列式时注意上三角矩阵的行列式等于对角线乘积。
步骤 5/7
目标：求特征值0的特征向量
解 $(0I - M)X = 0$，即
\[
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0,
\]
得 $x_3 = 0$，$x_1, x_2$ 自由。所以特征向量为 $x_1 E_{11} + x_2 E_{12}$，即形如 $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的矩阵（$x_1, x_2$ 不全为0）。
公式：齐次线性方程组求解
提示：特征向量是非零向量，注意不全为零。
步骤 6/7
目标：求特征值1的特征向量
解 $(I - M)X = 0$，即
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0,
\]
得 $x_1 = 0$，$x_2 = x_3$。所以特征向量为 $x_2 (E_{12} + E_{22})$，即形如 $\begin{pmatrix} 0 & x_2 \\ 0 & x_2 \end{pmatrix}$ 的矩阵（$x_2 \neq 0$）。
提示：注意自由变量只有一个，特征向量空间维数为1。
步骤 7/7
目标：判断是否可对角化
特征值0的几何重数：解空间维数为2，等于代数重数2。特征值1的几何重数为1，等于代数重数1。因此 $\varphi$ 可对角化，存在一组基（由特征向量组成）使矩阵为对角阵。
公式：可对角化充要条件：每个特征值的几何重数等于代数重数
提示：几何重数即特征子空间的维数，通过解空间维数得到。
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