哈尔滨工业大学 2011年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶实对称矩阵。证明 $A$ 与 $B$ 合同的充要条件是：$A$ 的正特征值的个数等于 $B$ 的正特征值的个数，$A$ 的负特征值的个数等于 $B$ 的负特征值的个数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解合同的定义和惯性定理
两个实对称矩阵$A$和$B$合同，如果存在可逆矩阵$C$使得$B = C^T A C$。惯性定理指出，实对称矩阵的合同等价类由其正、负特征值的个数唯一确定。
公式：B = C^T A C
提示：注意合同与相似的区别：合同要求$C^T$而非$C^{-1}$。
步骤 2/5
目标：必要性：假设$A$与$B$合同，推导特征值个数相等
设$A$与$B$合同，则存在可逆矩阵$C$使得$B = C^T A C$。由于$A$是实对称矩阵，存在正交矩阵$Q$使得$Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中$\lambda_i$是$A$的特征值。代入得$B = C^T Q \Lambda Q^T C = (Q^T C)^T \Lambda (Q^T C)$。令$P = Q^T C$，则$P$可逆，且$B = P^T \Lambda P$，故$B$与$\Lambda$合同。同理，$A$与$\Lambda$合同。由惯性定理，$A$与$B$的正、负特征值个数分别相等。
公式：B = P^T \Lambda P
提示：注意正交矩阵满足$Q^T = Q^{-1}$，但此处仅用$Q^T$。
步骤 3/5
目标：充分性：假设正负特征值个数相等，构造合同变换
设$A$的正特征值个数为$p$，负特征值个数为$q$，零特征值个数为$r = n-p-q$。由惯性定理，存在可逆矩阵$P$使得$P^T A P = \begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 \\ 0 & -I_q & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。同理，存在可逆矩阵$Q$使得$Q^T B Q = \begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 \\ 0 & -I_q & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：P^T A P = \begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 \\ 0 & -I_q & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意零特征值对应的块是零矩阵。
步骤 4/5
目标：充分性：由相等推出合同
由$P^T A P = Q^T B Q$，两边左乘$(Q^T)^{-1}$，右乘$Q^{-1}$得$B = (Q^{-1})^T P^T A P Q^{-1} = (P Q^{-1})^T A (P Q^{-1})$。令$C = P Q^{-1}$，则$C$可逆，且$B = C^T A C$，故$A$与$B$合同。
公式：B = (P Q^{-1})^T A (P Q^{-1})
提示：注意矩阵乘法的顺序：$(Q^{-1})^T = (Q^T)^{-1}$。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，实对称矩阵$A$与$B$合同的充要条件是它们有相同的正特征值个数和相同的负特征值个数。
提示：该结论是惯性定理的直接推论。
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