哈尔滨工业大学 2011年高等代数第1题
📝 题目
1．已知复系数非零多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式．证明
$$
\left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x) f^{\prime}(x)\right)=1
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设出公因式并利用条件
设 $d(x) = (f(x)+f'(x), f(x)f'(x))$。由于 $f(x)$ 没有重因式，故 $(f(x), f'(x))=1$。
提示：注意：没有重因式意味着 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 互素。
步骤 2/5
目标：分析不可约因式
由 $d(x) \mid f(x)f'(x)$，若存在不可约多项式 $p(x)$ 使得 $p(x) \mid d(x)$，则 $p(x) \mid f(x)f'(x)$，从而 $p(x) \mid f(x)$ 或 $p(x) \mid f'(x)$。
提示：注意：不可约多项式整除乘积时，必整除其中一个因子。
步骤 3/5
目标：情况一：$p(x) \mid f(x)$
若 $p(x) \mid f(x)$，则由 $p(x) \mid d(x) \mid f(x)+f'(x)$ 得 $p(x) \mid f'(x)$，这与 $(f(x), f'(x))=1$ 矛盾。
提示：注意：$p(x) \mid f(x)$ 且 $p(x) \mid f(x)+f'(x)$ 可推出 $p(x) \mid f'(x)$。
步骤 4/5
目标：情况二：$p(x) \mid f'(x)$
若 $p(x) \mid f'(x)$，同样由 $p(x) \mid f(x)+f'(x)$ 得 $p(x) \mid f(x)$，同样矛盾。
提示：对称推理，注意不要遗漏。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$d(x)$ 没有不可约因式，即 $d(x)$ 是常数，故 $(f(x)+f'(x), f(x)f'(x))=1$。
提示：常数多项式视为1，即互素。
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