哈尔滨工业大学 2011年高等代数第2题
📝 题目
2．已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上的 $n$ 维线性空间中线性无关的向量组
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+\alpha_{m}, \beta_{m}=\alpha_{m}+\alpha_{1}
$$
的线性相关性。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设线性组合为零
设 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_m\beta_m = 0$，其中 $k_i \in \mathbf{P}$。
提示：注意线性相关性的定义：存在不全为零的系数使得线性组合为零。
步骤 2/6
目标：代入β的表达式并整理
代入 $\beta_i$ 的定义：$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + \cdots + k_{m-1}(\alpha_{m-1}+\alpha_m) + k_m(\alpha_m+\alpha_1) = 0$。整理得 $(k_1+k_m)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + \cdots + (k_{m-1}+k_m)\alpha_m = 0$。
提示：合并同类项时注意每个α_i的系数由两个β的系数贡献。
步骤 3/6
目标：利用α的线性无关性得到方程组
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 线性无关，所以系数全为零：
\begin{cases}
k_1 + k_m = 0, \\
k_1 + k_2 = 0, \\
k_2 + k_3 = 0, \\
\cdots \\
k_{m-1} + k_m = 0.
\end{cases}
提示：线性无关意味着只有零系数才能得到零向量。
步骤 4/6
目标：写出方程组的系数矩阵
方程组对应的系数矩阵为 $m \times m$ 矩阵：
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1
\end{pmatrix}.$$
提示：注意第一行和最后一行的特殊结构。
步骤 5/6
目标：计算系数矩阵的行列式
按第一行展开行列式：
$$\det = 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 1
\end{vmatrix}_{(m-1)\times(m-1)} + (-1)^{m+1} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}_{(m-1)\times(m-1)}.$$
第一个行列式是下三角矩阵，值为 $1$；第二个行列式是上三角矩阵，值也为 $1$。所以 $\det = 1 + (-1)^{m+1}$。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号 $(-1)^{1+(m+1)} = (-1)^{m+2} = (-1)^m$，但这里展开时第一行第一列元素1的代数余子式符号为正，第一行最后一列元素1的代数余子式符号为 $(-1)^{1+m}$，所以结果正确。
步骤 6/6
目标：讨论m的奇偶性
当 $m$ 为奇数时，$(-1)^{m+1}=1$，行列式为 $2 \neq 0$，方程组只有零解，所以 $\beta_1,\ldots,\beta_m$ 线性无关。
当 $m$ 为偶数时，$(-1)^{m+1}=-1$，行列式为 $0$，方程组有非零解，例如取 $k_1=1, k_2=-1, k_3=1, \ldots, k_m=-1$，则 $\beta_1-\beta_2+\beta_3-\cdots-\beta_m=0$，所以 $\beta_1,\ldots,\beta_m$ 线性相关。
提示：当行列式为0时，需要找出一个非零解来证明线性相关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。