哈尔滨工业大学 2011年高等代数第3题

已知非齐次线性方程组 $Ax=\beta$ 有三个线性无关的解向量。设 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 是三个线性无关的解，则 $\eta_2-\eta_1,\eta_3-\eta_1$ 是导出组 $Ax=0$ 的两个线性无关的解，因此导出组的基础解系至少含有2个解向量，即 $n-r(A)\geq 2$。这里 $n=4$，所以 $r(A)\leq 2$。又因为 $A$ 是 $3\times 4$ 矩阵且至少有一行非零，故 $r(A)\geq 1$。

对增广矩阵 $(A\mid\beta)$ 作初等行变换： $$ (A\mid\beta)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & a+1 & a & a+1 & 3 \\ 1 & a & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1,\,r_3-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & a-1 & a-1 & a-1 & 0 \\ 0 & a-2 & -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}. $$

要使 $r(A)\leq 2$，则第二行和第三行必须线性相关，即存在常数 $k$ 使得 $(a-1,\,a-1,\,a-1,\,0)=k(a-2,\,-1,\,-1,\,-2)$。比较第四列得 $0=-2k$，所以 $k=0$，从而 $a-1=0$，即 $a=1$。此时矩阵变为： $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}. $$ 交换第二、三行，得 $r(A)=2$，$n-r(A)=2$，方程组有3个线性无关的解（特解加基础解系的两个解），符合题意。

继续化为行最简形： $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

取自由变量 $x_3=0,\,x_4=0$，代入行最简形对应的方程组： $$ \begin{cases} x_1 - x_3 = -1 \\ x_2 + x_3 + x_4 = 2 \end{cases} $$ 得 $x_1=-1,\,x_2=2$，所以特解 $\eta^* = (-1,\,2,\,0,\,0)^T$。

导出组 $Ax=0$ 的方程与上述相同，但常数项为0： $$ \begin{cases} x_1 - x_3 = 0 \\ x_2 + x_3 + x_4 = 0 \end{cases} $$ 令 $x_3=1,\,x_4=0$，得 $x_1=1,\,x_2=-1$，即 $\xi_1=(1,\,-1,\,1,\,0)^T$； 令 $x_3=0,\,x_4=1$，得 $x_1=0,\,x_2=-1$，即 $\xi_2=(0,\,-1,\,0,\,1)^T$。 $\xi_1,\xi_2$ 线性无关，构成基础解系。

非齐次线性方程组的通解为特解加上导出组的基础解系的线性组合： $$ x = \eta^* + c_1 \xi_1 + c_2 \xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}. $$